Επιλύσεις με πίνακες

Παραδοχές

Μια κτιριακή κατασκευή διαθέτει συνήθως διάφορους τύπους πλακών (αμφιέρειστες, τριέρειστες, τετραέρειστες κ.λ.π.), οι οποίες μπορεί να μην είναι τυποποιημένες. Στην περίπτωση αυτή, κάθε πλάκα επιλύεται ξεχωριστά με τη χρήση πινάκων. Η ροπή M στην παρυφή (σύνορο) δύο πλακών είναι δυνατόν να λαμβάνεται ως ο μέσος όρος των εκατέρωθεν ροπών Μ₁ (ροπή αριστερής πλάκας στην παρυφή) και Μ₂ (ροπή δεξιάς πλάκας στην παρυφή).

Η διαφορά ΔΜ=M₂-M₁ ανακατανέμεται σε όλες τις διευθύνσεις των δύο πλακών, ενώ κατά κανόνα επηρεάζει λίγο τις υπόλοιπες ροπές στηρίξεων και ακόμη λιγότερο τις ροπές ανοιγμάτων.

Ειδικές πλάκες (λοξές, όχι σταθερού πάχους κ.λ.π.) μπορεί να επιλυθούν με την αναγωγή τους σε ισοδύναμες ορθογωνικές σταθερού πάχους.

Πλάτος εφαρμογής σημειακού φορτίου επί πλάκας

Το πλάτος t εισαγωγής συγκεντρωμένου φορτίου P στο μέσο επίπεδο πλάκας δίνεται από τη σχέση:

t = b₀ + 2×(s+h_s/2) = b₀ + 2×s + h_s, όπου s το πάχος επικάλυψης.

Αν το σημειακό φορτίο εξασκείται απευθείας στην επιφάνεια του σκυροδέματος, όπως π.χ. στην περίπτωση τοιχοποιίας, δε λαμβάνεται υπόψη το πάχος s

.

Πλάτος διανομής σημειακού φορτίου

Αμφιέρειστη πλάκα με συγκεντρωμένο φορτίο

Το πλάτος διανομής συγκεντρωμένου φορτίου είναι συνάρτηση του είδους των στηρίξεων της πλάκας (πάκτωση, άρθρωση, ελεύθερη) και της απόστασης x του κέντρου βάρους του φορτί-ου από αυτές. Ο επόμενος πίνακας παραθέτει το πλάτος διανομής τμηματικά ομοιόμορφου φορτίου για κάθε είδος στήριξης.

Πλάτος Διανομής Τμηματικά Ομοιόμορφου Φορτίου

Αμφιαρθρωτή πλάκα		b_m_,_f = t_y + 2.5×x×(1-x/l) t_x,max= l, t_y,max= 0.8l	b_m_,_vL = t_y + 0.5×x t_x,max= l, t_y,max= 0.8l b_m_,_vR = t_y + 0.5×(l-x) t_x,max= l, t_y,max= 0.8l
	Παράδειγμα 1	b_m,f=0.37+2.5×1.5×(1-0.375)=2.71 m	b_m,vL=0.37+0.5×1.5=1.12 m b_m,vR=0.37+0.5×2.5=1.62 m
	Παράδειγμα 2	b_m_,_f=0.37+2.5×2.0×(1-0.5)=2.87 m	b_m_,_vL=0.37+0.5×2.0=1.37 m b_m,vR=0.37+0.5×2.0=1.37 m
Μονόπακτη πλάκα		b_m_,_f = t_y + 1.5×x×(1-x/l) t_x,max= l, t_y,max= 0.8l b_m_,s = t_y + 0.5×x×(2-x/l) t_x,max= l, t_y,max= 0.8l	Left: για 0.2<x/l<1 b_m,vL = t_y + 0.3×x t_x,max= 0.2l, t_y,max= 0.4l Right: για 0<x/l<0.8 b_m,vR = t_y + 0.4×(l-x) t_x,max= 0.2l, t_y,max= 0.4l
	Παράδειγμα 1	b_m,f=0.37+1.5×1.5×(1-0.375)=1.78 m b_m,s=0.37+0.5×1.5×(2-0.375)=1.59 m	b_m,vL=0.37+0.3×1.5=0.82 m b_m,vR=0.37+0.4×2.5=1.37 m
	Παράδειγμα 2	b_m,f=0.37+1.5×2.0×(1-0.5)=1.87 m b_m,s=0.37+0.5×2.0×(2-0.5)=1.87 m	b_m,vL=0.37+0.3×2.0=0.97 m b_m,vR=0.37+0.4×2.0=1.17 m
Αμφίπακτη πλάκα		b_m_,_f = t_y + x×(1-x/l) t_x,max= l, t_y,max= 0.4l b_m_,sL = t_y + 0.5×x×(2-x/l) b_m_,sR = t_y + 0.5×(l-x)×(1+x/l) t_x,max= l, t_y,max= 0.4l	b_m_,vL = t_y + 0.3×x t_x,max= 0.2l, t_y,max= 0.4l b_m_,vR = t_y + 0.3×(l-x) t_x,max= 0.2l, t_y,max= 0.4l
	Παράδειγμα 1	b_m,f=0.37+1.5×(1-0.375)=1.31 m b_m,sL=0.37+0.5×1.5×(2-0.375)=1.59 m b_m,sR=0.37+0.5×2.5×(1+0.375)=2.09 m	b_m,vL=0.37+0.3×1.5=0.82 m b_m,vR=0.37+0.3×(4.0-1.5)=1.12 m
	Παράδειγμα 2	b_m,f=0.37+2.0×(1-0.5)=1.37 m b_m,s=0.37+0.5×2.0×(2-0.5)=1.87 m b_m,sR=0.37+0.5×2.0×(1+0.5)=1.87 m	b_m,vL=0.37+0.3×2.0=0.97 m b_m,vR=0.37+0.3×(4.0-2.0)=0.97 m
Πρόβολος πλάκα		b_m_,s = t_y + 1.5×x t_x,max= l, t_y,max= 0.8l	για 0.2<x/l<1 b_m_,_v = t_y + 0.3×x t_x,max= 0.2l, t_y,max= 0.4l
	Παράδειγμα 1	b_m,s=0.37+1.5×1.5=2.62 m	b_m,v=0.37+0.3×1.5=0.82 m
	Παράδειγμα 2	b_m,s=0.37+1.5×2.0=3.37 m	b_m,v=0.37+0.3×2.0=0.97 m

Ακολουθούν τα παραδείγματα 1 και 2.

Παράδειγμα 1: αμφιέρειστη πλάκα

H πλάκα έχει διαστάσεις l_x=4.00 m, l_y=5.00 m και πάχος h_s=170 mm. Καταπονείται από φορτίο επικάλυψης g_e=1.0 kN/m², ωφέλιμο q=5.0 kN/m² και συγκεντρωμένο P (μόνιμο G=10.0 kN και κινητό Q=10.0 kN), το οποίο ασκείται απευθείας (s=0) στην πλάκα, έχει διαστάσεις b_ox=0.50 m, b_oy=0.20 m και κέντρο βάρους σε απόσταση x=1.50 m από την αριστερή στήριξη. Οι στηρίξεις L,R είναι αρθρωτές. Ζητείται το διάγραμμα ροπών και τεμνουσών της πλάκας.

Η επίλυση με τα ομοιόμορφα φορτία είναι ίδια με αυτή του παραδείγματος της §3.3.2 (v_w=29.18 kN/m, m_w=29.18 kNm/m). Η ένταση αυτή σχεδιασμού είναι ομοιόμορφη σε ολόκληρο το μήκος l_y της πλάκας.

Πλάτος εισαγωγής σημειακού φορτίου σχεδιασμού P

P=1.35×G+1.50×Q=1.35×10.0+1.50×10.0=28.5 kN

t_x=b_ox+h_s=0.50+0.17=0.67 m

t_y=b_oy+h_s=0.20+0.17=0.37 m

x/l_x=1.5/4.0=0.375

Ισοδύναμο γραμμικά διανεμημένο φορτίο p στο t_x

p=P/t_x=28.5kN/0.67m=42.5 kN/m

Τέμνουσες δυνάμεις στις δύο στηρίξεις

V_L=V_x,L=p×t_x×(l_x-x)/l_x=42.54×0.67×2.5/4.0=17.8 kN

V_R=V_x,R=V_x,L-p×t_x=17.81-42.54×0.67=-10.7 kN

Σημείο μηδενισμού τεμνουσών

x’=V_L/p=17.81kN/(42.54kN/m)=0.419 m

Μέγιστη ροπή

M_p=A_V=V_L×(x-t_x/2) + V_L×x’/2=17.81×(1.5-0.67/2)+17.81 ×0.419/2=20.75+3.73=24.5 kNm

Πλάτη διανομής φορτίου (προηγούμενος πίνακας)

t_x,max=l_x=4.0 m (>t_x=0.67 m) και t_y,max=0.8×l_x=0.8×4.0=3.20 m (>t_y=0.37 m)

b_m,f=t_y+2.5×x×(1-x/l)=0.37+2.5×1.5×(1-0.375)=2.71 m και b_m,vL=t_y+0.5×x=0.37+0.5×1.5=1.12 m

Η πρόσθετη ροπή σχεδιασμού στη ζώνη πλάτους b_m,f=2.71 m
ισούται με m_P=M_P/b_m,f=24.48kNm/2.71m=9.03 kNm/m και η συνολική ροπή σχεδιασμού με m_tot=m_w+m_P=29.18+9.03=38.21 kNm/m. Η πρόσθετη τέμνουσα σχεδιασμού στη ζώνη πλάτους b_m,vL=1.12 m ισούται με v_P=V_L/b_m,vL=17.81kN/1.12m=15.9 kN/m και η συνολική τέμνουσα σχεδιασμού με v_tot=v_w+v_P=29.2+15.9=45.1 kN/m.

Παράδειγμα 2: αμφιέρειστη πλάκα

Εξετάζουμε την προηγούμενη πλάκα, στην οποία ασκείται πλέον συνεχές φορτίο g=8.0 kN/m λόγω τοιχοποιίας από L έως R (συνολικό φορτίο G=8.0kN/m×4.00m=32.0 kN) πάχους b_oy=0.20 m. Ζητείται το διάγραμμα ροπών και τεμνουσών της πλάκας.

Λύση:

Η επίλυση με τα ομοιόμορφα φορτία είναι ίδια με αυτή του προηγούμενου παραδείγματος. Οι διαστάσεις του φορτίου ισούνται με b_ox=4.00 m και b_oy=0.20 m.

Πλάτος εισαγωγής γραμμικού φορτίου σχεδιασμού p

p=γ_g×g=1.35×8.0kN/m=10.8 kN/m

t_x=min(b_ox+h_s, l_x)=min(4.00+0.17, 4.00)=4.00 m

t_y=b_oy+h_s=0.20+0.17=0.37 m

x=l/2=4.00/2=2.00 m

x/l=2.00/4.00=0.50

Τέμνουσες δυνάμεις στις δύο στηρίξεις

V_L=V_R=p×l_x/2=10.8×4.00/2=21.6 kN

Μέγιστη ροπή

M_p=p×l²_x/8=10.8×4.00²/8=21.6 kNm.

Πλάτη διανομής φορτίου (προηγούμενος πίνακας)

t_x=t_x,max=l_x=4.00 m,

t_y,max=0.8×l_x=0.8×4.00=3.20 m(>t_y=0.37 m)

b_m,f=t_y+2.5×x×(1-x/l)=0.37+2.5×2.00×(1-0.50)

=2.87 m

b_m,vL=b_m,vR=t_y+0.5×x=0.37+0.5×2.00=1.37 m

Η πρόσθετη ροπή σχεδιασμού στο πλάτος b_m,f=2.87 m ισούται με m_p=M_p/b_m,f=21.60kNm/2.87m=7.5 kNm/m και η συνολική ροπή σχεδιασμού με m_tot=m_w+m_P=29.2+7.5=36.7 kNm/m.

Η πρόσθετη τέμνουσα σχεδιασμού στη ζώνη πλάτους b_m,vL=1.37 m ισούται με v_P=V_L/b_m,v=21.6kN/1.37m=15.8 kN/m και η συνολική τέμνουσα σχεδιασμού με v_tot=v_w+v_P=29.2+15.8=
=45.0 kN/m.

Παράδειγμα 3: Τετραέρειστη πλάκα

Στην περίπτωση τετραέρειστης πλάκας, τα σημειακά ή γραμμικά φορτία, γενικά κατανέμονται σε όλο το εμβαδόν της πλάκας υπό μορφή ομοιομορφισμένου φορτίου. Το φορτίο αυτό προ-στίθεται στα υπόλοιπα ομοιόμορφα φορτία της πλάκας.

Παράδειγμα: Δίνονται το ισοδύναμο ομοιόμορφο γραμμικό φορτίο τοίχου (δηλαδή το βάρος του τοίχου μείον το βάρος της πόρτας) του σχήματος στη διεύθυνση των 4.00m ίσο με 5.0kN/m

και το εγκάρσιο φορτίο του συμπαγούς τοίχου ίσο με 6.0

kN/m. Ζητείται το ομοιομορφισμένο φορτίο των τοίχων στο σύνολο της επιφάνειας της πλάκας.

Συνολικό φορτίο τοίχων:

4.00m×5.0kN/m+1.50m×6.0kN/m=29.0 kN

Ομοιομορφισμένο φορτίο τοίχων:

29.0kN/(4.00m ×5.00m)=1.45 kN/m²

Ροπές στήριξης συνεχών πλακών

Στις ελεύθερα (κατασκευαστικά) στρεπτές στηρίξεις πλακών, π.χ. σε προκατασκευασμένες πλάκες, η ροπή υπολογισμού μπορεί να λαμβάνεται ίση με:

, όπου V η αντίδραση στήριξης σχεδιασμού.

Στις μονολιθικές στηρίξεις συνεχών πλακών, όπως συνήθως κατασκευάζονται στην πράξη, υπολογίζονται οι ροπές των παρειών Μ', Μ'':

(Μ, V σε απόλυτες τιμές)

ή προσεγγιστικά M’=M’’=0.90×M.

Οι ροπές παρειώνΜ', Μ'' πρέπει να είναι μεγαλύτερες του 0.65 των θεμελιωδών ροπών M_o_,lκαι M_o_,rτων αντίστοιχων πλήρως πακτωμένων άκρων.

Θεμελιώδεις ροπές

Οι θεμελιώδεις ροπές, με ομοιόμορφα φορτία, ισούνται με
M₁₀=p₁l₁²/8, M₁₂=M₂₁=p₂l₂²/12, M₂₃= p₃l₃²/8.

Ανακατανομή Έντασης

Σε συνεχείς πλάκες οι ροπές των στηρίξεων επιτρέπεται να μειωθούν [EC2, §5.5(4)] έως 30% όταν χρησιμοποιείται χάλυβας οπλισμού κατηγορίας B ή C και έως 20% όταν χρησιμοποιείται χάλυβας κατηγορίας A, με την προϋπόθεση πάντοτε αύξησης των αντίστοιχων ροπών των ανοιγμάτων.

Με την ανακατανομή αυτή το απαιτούμενο λόγω κάμψης πάχος των πλακών μπορεί να μειωθεί, ενώ η ταυτόχρονη αύξηση του οπλισμού να είναι σχετικά μικρή.

Παράδειγμα ανακατανομής ροπών σε ποσοστό 25%:

Για ροπή στήριξης Μ₁=-45.0 kNm, προκύπτει τέμνουσα ίση με V₀=10.0×6.00/2-45.0/6.00=22.5 kN και σημείο μηδενισμού τεμνουσών στη θέση x=22.5/10.0=2.25 m. Η μέγιστη ροπή του ανοίγματος στο σημείο αυτό ισούται με M_max=V₀×x/2=22.5×2.25/2=25.3 kNm.

Για μείωση της ροπής στήριξης Μ₁κατά 25%, προκύπτουν:

M’₁=-45.0×0.75=-33.8 kNm

V’₀=10.0×6.00/2-33.8/6.00=24.4 kN

x^’=24.4/10.0=2.44 m

M’_max=V’₀×x^’/2=24.4×2.44/2=29.8 kNm

Παρατηρούμε ότι η ροπή του ανοίγματος αυξάνεται κατά (29.8-25.3)/25.3=18%.

Συμβολή ελεύθερα στρεπτών στηρίξεων πλακών

Οι επιλύσεις ελαστικότητας και η χρήση πινάκων τετραέρειστων πλακών προϋποθέτουν ότι έχουν εξασφαλιστεί οι γωνίες των πλακών από ανύψωση και ότι οι διαγώνιες ροπές συστρο-φής στις γωνίες αυτές παραλαμβάνονται από καρέ διαμήκη οπλισμό στις άνω και κάτω ίνες. Οι δύο αυτές κατασκευαστικές συνθήκες ικανοποιούνται κατά κανόνα στην πράξη, καθώς οι οπλισμοί των πλακών αλληλοεμπλέκονται με τους συνδετήρες και τους διαμήκεις οπλισμούς των δοκών, με αποτέλεσμα να εξασφαλίζουν την ανύψωση των γωνιών και ταυτόχρονα να δημιουργούν πλέγματα όπλισης στις άνω και κάτω ίνες των γωνιών.
Σε περίπτωση που δεν τηρούνται οι (υποχρεωτικές) κατασκευαστικές προδιαγραφές, δε θα υπάρξει πρόβλημα ισορροπίας των πλακών, ωστόσο οι ροπές των ανοιγμάτων θα αυξηθούν κατά 5% - 33%.

Επιλύσεις με πίνακες

Παραδοχές

Πλάτος εφαρμογής σημειακού φορτίου επί πλάκας

Πλάτος διανομής σημειακού φορτίου

Πλάτος Διανομής Τμηματικά Ομοιόμορφου Φορτίου

Παράδειγμα 1: αμφιέρειστη πλάκα

Παράδειγμα 2: αμφιέρειστη πλάκα

Παράδειγμα 3: Τετραέρειστη πλάκα

Ροπές στήριξης συνεχών πλακών

Θεμελιώδεις ροπές

Ανακατανομή Έντασης

Συμβολή ελεύθερα στρεπτών στηρίξεων πλακών

Text/HTML

Text/HTML

Text/HTML

Text/HTML

Text/HTML

Text/HTML

Text/HTML

Text/HTML

Text/HTML

Text/HTML

Text/HTML