en-USel-GRes-ES
Menu

Τετραέρειστες-Τριέρειστες-Διέρειστες

Εισαγωγή >
Ο σκελετός του κτιρίου
Η κατασκευή
Οπλισμός I
Οπλισμός II
Προμέτρηση και κοστολόγηση
Σχέδια εφαρμογής


Δυνάμεις σεισμού και ανέμου
Προσομοιώματα-Επιλύσεις
Προσομοίωση πλακών με πεπερασμένα
Ολόσωμες πλάκες
Σεισμική Συμπεριφορά Πλαισίων
Παράρτημα Α
Παράρτημα Β
Παράρτημα Γ
Παράρτημα Δ
Εισαγωγή

Υλικά
Συνεχίζεται >
Εισαγωγή

Ορισμός

Όταν μία πλάκα στηρίζεται και στις τέσσερις παρυφές και ο λόγος του μεγαλύτερου προς το μικρότερο θεωρητικό άνοιγμα είναι ≤2.00, θεωρείται τετραέρειστη.
Οι τετραέρειστες πλάκες υπό ομοιόμορφο φορτίο επιλύονται στατικά με πίνακες, από τους οποίους προκύπτουν οι θεμελιώδεις ροπές στηρίξεων, οι ροπές ανοιγμάτων και οι τέμνουσες δυνάμεις.
Στους πίνακες αυτούς, ανάλογα με τον τρόπο στήριξης, κάθε πλάκα χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό από 1 έως 6, όπως απεικονίζεται στο σχήμα.
Το διάφραγμα ενός ορόφου περιλαμβάνει κατά κανόνα πολλές πλάκες σε επαφή μεταξύ τους και η κάθε πλάκα επηρεάζει τις υπόλοιπες. Ο ακριβής υπολογισμός των επιρροών αυτών πραγματοποιείται μόνο με τη χρησιμοποίηση επιφανειακών πεπερασμένων στοιχείων. Στις συνήθεις περιπτώσεις, οι γειτονικές πλάκες δεν επηρεάζουν σημαντικά τις τέμνουσες δυνάμεις και τις αντιδράσεις μίας τετραέρειστης πλάκας. Για το λόγο αυτό, και για να είναι εφικτός ο υπολογισμός με απλά υπολογιστικά μέσα, εξετάζουμε κάθε πλάκα χωριστά.

Τέμνουσες δυνάμεις και αντιδράσεις στήριξης
Απλοποιημένη μέθοδος

Η κατανομή του φορτίου είναι τριγωνική ή τραπεζοειδής. Τα ύψη των τριγώνων/τραπεζίων ορίζουν τις μέγιστες τιμές του φορτίου που μεταβιβάζεται στα αντίστοιχα σημεία της περιμετρι-κής στήριξης. Τα μέγιστα αυτά φορτία είναι οι μέγιστες τέμνουσες δυνάμεις Vi,j της πλάκας, ενώ τα ισοδύναμα φορτία pi,j είναι οι ισοδύναμες ομοιομορφισμένες αντιδράσεις.

Συντελεστές τεμνουσών δυνάμεων και αντιδράσεων

 

Vxrxr×p×lx

 

Vxermxerm×p×lx

 

Vyr= ρyr×p×lx

 

Vyerm= ρyerm×p×lx

 

pxr=υxr×p×lx

 

pxerm=υxerm×p×lx

 

pyr= υyr×p×lx

pyerm= υyerm×p×lx

 

Οι τιμές των συντελεστών των τεμνουσών δυνάμεων Vi,j και των ισοδύναμων ομοιόμορφων αντιδράσεων pi,j δίνονται στους έξι πίνακες b5.1 έως b5.6 που παρατίθενται στο τέλος του βι-βλίου. Σε καθεμία από τις έξι περιπτώσεις στηρίξεων σχηματίζονται δύο τρίγωνα και δύο τραπέζια κατά τις διευθύνσεις x, y ή αντίστροφα (ανάλογα με το λόγο των πλευρών).

Συντελεστές τεμνουσών δυνάμεων και αντιδράσεων

Shear force diagram by Czerny for side ratio 1.50

According to the theory of elasticity, the distribution of shear forces along the length of the four edges of a slab, results from the shear forces along its perimeter as described by equations. The most unfavourable shear forces along the sides of a slab (as well as the most unfavourable bending moments) are tabulated in the tables of the book entitled “Applications of Reinforced Concrete” (p46-51 for two-way slabs, p52-59 three- or two-side-supported slabs) of series of books by Apostolos Konstantinidis published in1994.

Θεμελιώδεις ροπές στήριξης και ροπές ανοιγμάτων – Βέλη κάμψης
Μέθοδος MARCUS

In this method, the slab is replaced by two intersecting strips along directions x and y respectively, which meet in its middle point m.

Depending on the support conditions, the strips are classified as simply supported, fixed at one end or fixed at both ends.

Each strip, subjected to its corresponding load, provides an elastic line and a bending moment diagram.

Αμφιαρθρωτή λωρίδα πλάκας

(where i=x,y) 

Μονόπακτη λωρίδα πλάκας

 

 

 

 

Αμφίπακτη λωρίδα πλάκας

 

 

 

 

Θεμελιώδεις ροπές στήριξης και ροπές ανοιγμάτων – Βέλη κάμψης
Μέθοδος ελαστικότητας κατά CZERNY

 

 

 

 

Ροπές συνεχών τετραερείστων πλακών
Μέθοδος συνεχών λωρίδων

The coefficients used for the determination of spans and supports bending moments result from the tables depending on the aspect ratio (where in lx is the shortest dimension) and the type of support. 

Thus:

 

Ροπές συνεχών τετραερείστων πλακών
Ακριβής μέθοδος (με το ‘χέρι’)

Stiffness coefficients and transfer indices of each slab depend on its type of support and its aspect ratio. These data are provided by tables in several books, e.g. by Hahn.

All supports are considered fixed when principal moments are calculated.

One support is freed, e.g. 45 of the figure, and distribution takes place on all directions (i.e. CROSS method on plane).

This procedure is repeated until moments balance.

Such a solution is, certainly, complex and laborious, but it is applicable in case of large spans with significant differences in dimensions and thicknesses.

 

 

Ροπές συνεχών τετραερείστων πλακών
Πρακτικά ακριβής μέθοδος

In usual cases of slabs with almost the same thickness (even for large or uneven spans), support moments are calculated with reasonable accuracy according to the expression:

, where  and  are the principal moments at support 1.

Support moments affect at minimum level span moments, resulting the latter to be calculated considering rigid supports.

This particular method is applied in the majority of practical problems, as it combines adequate accuracy (much more accurate than the strip method) with high speed application.


 

Επιρροή κινητού φορτίου

The general case of unfavourable loadings is described in §4.2.3 for every type of slab. This paragraph focuses on imposing and determining unfavourable loadings in the special case of a symmetric group of two-way slabs.

Unfavourable loadings are always considered as of zatrikion (chess) form. This property leads to the consideration of two equivalent loading cases, one with uniform positive loads of equal magnitude and another of zatrikion form with uniform loads of equal magnitude but alternating sign.

This technique is applied in the next example. It is worth noting that the paragraph containing the exercises of this chapter deals with the analysis of a large symmetric group of two-way slabs.


 

Παράδειγμα

Determine the moments for ultimate limit state of the slabs illustrated in the figure;
covering loads g
επ=1.5 kN/m2 and live loads a) q= 2.0 kN/m2, b) 5.0 kN/m2, c) 10.0 kN/m2.




 project <Β_464>


Static analysis

To determine the critical support moment, both slabs are loaded by the total load:

pd=1.35g+1.50q

For the determination of maximum and minimum spam moments, one slab is loaded by the minimum design load gd=g and the other is loaded by the minimum one pd=1.35g+1.50q.

The two following independent loadings p1 and p2 are considered:

p1=g+(0.35g+1.50q)/2

p2=(0.35g+1.50q)/2

It is:

gd=p1-p2 και pd=p1+p2

 

Dead load is equal to:

g=0.15x25.0+1.5=5.25 kN/m2, οπότε για

 

a) For live load q=2.0 kN/m2

p1=5.25+(0.35x5.25+1.5x2.0)/2= =5.25+2.42=7.67 kN/m2
p2=(0.35g+1.50q)/2=2.42 kN/m2
à
gd=p1-p2=5.25 & pd=p1+p2=10.09 kN/m2

 

b) For live load q=5.0 kN/m2

p1=5.25+(0.35x5.25+1.5x5.0)/2= =5.25+4.67=9.92 kN/m2,
p2=(0.35g+1.50q)/2=4.67 kN/m2
à
gd=p1-p2=5.25 & pd=p1+p2=14.59 kN/m2

 

c) For live load q=10.0 kN/m2

p1=5.25+(0.35x5.25+1.5x10.0)/2= =5.25+8.42=13.67 kN/m2

p2=(0.35g+1.50q)/2=8.42 kN/m2 à
gd=p1-p2=5.25 & pd=p1+p2=22.09 kN/m2


 Each slab is solved for two types of support by means of proper coefficients for aspect ratio .


Table b5.2 for slab s1(one fixed edge and the rest simply supported) gives  kx,1=0.453, ky,1=0.547, vx,1=0.738, vy,1=0.631, while table b5.1 for slab s1 (simply supported all four edges) gives kx,2=0.675, ky,2=0.325, vx,2=vy,2=0.610.

Support moment s1-s2

The most unfavourable support moment results from the maximum loading pd of both slabs. Since both geometry and loading are symmetric static behaviour of the slabs is identical. Consequently the support moment s1-s2 is equal to the fixity moment of each slab.


a) For live load q= 2.0 kN/m2


b) For live load q= 5.0 kN/m2


c) For live load q= 10.0 kN/m2


 Span moments

The maximum moment of each span results from loading one span with pd and the other span with gd, as shown in the first out of the three following figures. These loadings are equal to pd=p1+p2 and gd=p1-p2 respectively. Analysis is performed by means of equivalent loadings using p1 and p2.

Both 1st equivalent loadings are symmetric, thus both slabs function as fixed on one edge and simply supported on the rest. On the contrary 2nd equivalent loadings are antisymmetric, thus both slabs function as simply supported on all four edges. Consequently the two individual analyses as well as their resultants will be accurate.


loading of upper slab

1st loading of upper slab

+

2nd loading of upper slab


Figure 4.6.4-5


Loading of lower slab

1st loading of lower slab

+

2nd loading of lower slab


(1) elastic line , (2) moment diagram

Τριέρειστες Πλάκες

A three-edge-supported slab is the one supported along three edges.

Static analysis is performed similar to two-way slabs (i.e. considering each individual slab), by means of tables e.g. by Hahn.

Moments are practically distributed according the approximate method of § 4.6.3.3.

The tables support global uniform loads, continuous linear uniform loads on free edges and continuous linear moments on free edges.

A slab of shape Γ

is analyzed considering one three-edge-supported slab and one two-way slab, as shown in figure below. This method is proposed by Hahn and it requires particular attention reinforcing the slab. Indicatively, it is emphasized that continuous reinforcement should be placed along the lower fibers at the theoretical boundary of the two-way slab and the three-edge-supported slab.

 

Διέρειστες πλάκες

A two-edge-supported slab is the one supported on two adjacent edges.

Static analysis is performed similar to two-way slabs, by means of tables e.g. by Stiglat.

Special attention should be paid to the reinforcement distribution, which has to be compatible with that of the corresponding moment distribution.

Near edges, these slabs behave practically as cantilevers (of course depending on the aspect ratio ly/lx), such as the slab section with length lx-ly illustrated in the figure.