Παράρτημα Α: Μονοαξονική Κάμψη σε βάθος

Μονοαξονική Κάμψη σε βάθος

Τα δύο προβλήματα διαστασιολόγησης σε κάμψη

Γενικά τίθενται δύο προβλήματα διαστασιολόγησης σε κάμψη:

Πρόβλημα Α

Δίνεται η εξωτερική ένταση σχεδιασμού (N_d, M_d) ως προς το Κ.Β. της διατομής και ζητείται ο αναγκαίος οπλισμός A_s_1,_cal και A_s_2,_cal (αν χρειάζεται).

Πρόβλημα Β

Δίνεται ο τοποθετημένος οπλισμός A_s_1,_eff και A_s_2,_eff και η θλιπτική δύναμη σχεδιασμού N_d. Ζητείται η ροπή αντοχής M_Rd.

Και τα δύο προβλήματα λύνονται όταν βρεθεί το ζεύγος ε_c,ε_s που δίνει εσωτερικές δυνάμεις F_c, F_s₁, F_s₂ οι οποίες ισορροπούν την εξωτερική ένταση M_d, N_d.

Σημειώνεται ότι εφόσον προσδιοριστεί η περιοχή στην οποία βρίσκεται η λύση, ο άγνωστος είναι μόνο ένας, η το ε_c ή το ε_s, επειδή το αντίστοιχο ε_s ή το ε_c, είναι πάντοτε το οριακό της περιοχής του όπως προκύπτει από την επόμενη παράγραφο.

Ορθογωνική διατομή με οπλισμό κάτω και πάνω

Εικόνα A‑1: Εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις σε συνήθη καμπτόμενη ορθογωνική διατομή

Η επίλυση αυτής της ορθογωνικής διατομής μπορεί να γίνει με πίνακες ή με το λογισμικό και αυτό θα διευκολύνει την ανάλογη δουλειά με το χέρι που θα ακολουθήσει στη συνέχεια, επειδή θα μπορούν να ελεγχθούν τα αποτελέσματα.

Ο σκοπός όμως αυτού του κεφαλαίου είναι η κατανόηση του συνολικού θέματος της κάμψης, ώστε ο μηχανικός να είναι σε θέση να αντιμετωπίσει οποιαδήποτε μη τυποποιημένη διατομή
οπλισμένου σκυροδέματος από άποψη σκυροδέματος ή/και όπλισης.

Σ’ αυτά τα πλαίσια παρουσιάζονται και θα επιλυθούν σταδιακά μέχρι τέλους οι δύο ειδικές περιπτώσεις που ακολουθούν:

Ισοσκελής τραπεζοειδής διατομή με οπλισμό κάτω και πάνω

Εικόνα A‑2: Εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις σε καμπτόμενη τραπεζοειδή διατομή

Η λειτουργία της τραπεζοειδούς διατομής είναι ανάλογη της ορθογωνικής διατομής. Η μόνη διαφορά έγκειται στον τρόπο υπολογισμού της δύναμης F_c που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα και του σημείου εφαρμογής της, z_c.

Εικόνα A‑3: Η τραπεζοειδής διατομή είναι ισοδύναμη με μία ορθογωνική και δύο τριγωνικές

Το κέντρο βάρους της διατομής επί της οποίας θεωρείται ότι εξασκούνται η αξονική δύναμη και η ροπή κάμψης, απέχει απόσταση z₁ από τη βάση του τραπεζίου όπου:

Η τραπεζοειδής διατομή αποτελείται από το ορθογώνιο πλάτους b₂ και ύψους x και τα δύο όμοια τρίγωνα που ισοδυναμούν με ένα ισοσκελές τρίγωνο που έχει βάση (b₁-b₂) και ύψος h. Η θλιβόμενη ζώνη έχει ύψος x και βάση (b₁-b₂)×x/h.

Ορθογωνική διατομή με πολλαπλές στρώσεις οπλισμού

Εικόνα A‑4: Εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις σε καμπτόμενη ορθογωνική διατομή με οπλισμό κορμού

Η ορθογωνική διατομή αναλύεται διεξοδικά στο Παράρτημα C, αλλά σ’ αυτό το κεφάλαιο θα γίνουν οι εφαρμογές της.

Η δύναμη που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα

Γενικά

Οι σύνθετες διατομές στη γενικότητα τους μπορούν να παραχθούν από την ορθογωνική και την τριγωνική διατομή, ενώ οι άλλες δύο τραπεζοειδείς διατομές διευκολύνουν τη δουλειά με το “χέρι”.

Η θλιβόμενη ζώνη του σκυροδέματος

Εικόνα A‑5: Ορθογωνική και τριγωνική διατομή υπό κάμψη

Η δύναμη F_c και το σημείο εφαρμογής της z_c, που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα είναι

x είναι το ύψος της θλιβόμενης ζώνης της διατομής που έχει πλάτος b

α είναι ο συντελεστής απόδοσης της διατομής

κ_y, κ_z είναι οι συντελεστές του σημείου εφαρμογής της δύναμης

f_cd είναι η αντοχή σχεδιασμού του σκυροδέματος f_cd=f_ck/γ_c

α_cc είναι συντελεστής που συνεκτιμά μακροχρόνιες επιδράσεις στη θλιπτική αντοχή και δυσμενείς επιρροές που προκύπτουν από τον τρόπο με τον οποίο επιβάλλεται το φορτίο. Η συνιστώμενη τιμή του EC2 είναι α_cc=1.00, ενώ η τιμή του ελληνικού παραρτήματος είναι α_cc=0.85, μόνο όμως για τη θλίψη του σκυροδέματος λόγω κάμψης.

b Το πλάτος της βάσης της θλιβόμενης διατομής και όχι απαραίτητα της βάσης της συνολικής διατομής η οποία μπορεί να έχει τη δική της τιμή.

Τα διαγράμματα τάσεων - παραμορφώσεων του σκυροδέματος περιγράφονται στην παράγραφο 1.2 και σε μορφή διαγραμμάτων απεικονίζονται στον Πίνακα 4b ανάλογα με τις κατηγορίες σκυροδέματος.

Τα ολοκληρώματα των F_c και z_c για τις διάφορες διατομές σκυροδέματος αναλύονται με κάθε λεπτομέρεια στο Παράρτημα Β, όπου εξετάζονται αναλυτικά, η ορθογωνική διατομή, η τριγωνική διατομή, η διατομή ορθού τραπεζίου και η διατομή ανεστραμμένου τραπεζίου. Οι διατομές αυτές συνθέτουν κάθε άλλο είδος διατομής.

Ορθογωνική διατομή

Εικόνα A‑6: Θλίβουσα δύναμη σκυροδέματος ορθογωνικής διατομής υπό κάμψη

Πίνακας A‑1: Παραδείγματα ορθογωνικών διατομών:

ε_c(‰)		0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5
C30/37	α	0,2292	0,4167	0,5625	0,6667	0,7333	0,7778	0,8095
C30/37	κ	0,3409	0,3500	0,3611	0,3750	0,3909	0,4048	0,4160

ε_c(‰)		0.5	1.0	1.5	2.0	2.3	2.5	2.9
C60/75	α	0,1662	0,3161	0,4481	0,5599	0.6154	0,6462	0.6950
C60/75	κ	0,3373	0,3420	0,3478	0,3552	0.3611	0,3661	0.3772

Τριγωνική διατομή

Εικόνα A‑7: Θλίβουσα δύναμη σκυροδέματος τριγωνικής διατομής υπό κάμψη

Πίνακας A‑2: Παραδείγματα τριγωνικών διατομών

ε_c(‰)		0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5
C30/37	α	0,0781	0,1458	0,2031	0,2500	0,2867	0,3148	0,3367
C30/37	κ	0,5067	0,5143	0,5231	0,5333	0,5451	0,5569	0,5674

ε_c(‰)		0.5	1.0	1.5	2.0	2.3	2.5	2.9
C60/75	α	0,0560	0,1081	0,1558	0,1989	0.2222	0,2366	0.2622
C60/75	κ	0,5035	0,5075	0,5121	0,5177	0.5217	0,5249	0.5322

Ισοσκελής τραπεζοειδής διατομή

Εικόνα A‑8: Θλίβουσα δύναμη σκυροδέματος τραπεζοειδούς διατομής υπό κάμψη

Η περίπτωση αυτή, όπως και κάθε άλλη ειδική διατομή, αντιμετωπίζεται με τις παρακάτω απλές αναλυτικές εξισώσεις για κάθε συνδυασμό ε_c, ε_s:

Τυχούσα διατομή

Η ‘τυχούσα’ θλιβόμενη διατομή συνήθως προκύπτει από κάθε συμβατική διατομή όταν βρίσκεται υπό διαξονική ένταση, όπως φαίνεται στις Eικόνες A-9 και A-10 σε μία απλή τετράγωνη διατομή.

Η επίλυσή κάθε περίπτωσης είναι εντελώς ανάλογη με αυτές των ορθογωνικών διατομών.


Εικόνα A‑9: Τριγωνική θλιβόμενη ζώνη (βλέπε και 2^ο Μέρος)	Εικόνα A‑10: Τετράπλευρη θλιβόμενη ζώνη

Εικόνα A‑11: Ουδέτερη γραμμή μεταξύ του ύψους d και h (σχεδόν πλήρης θλίψη όλης της διατομής)	Εικόνα A‑12: Ουδέτερη γραμμή πέραν του ύψους h (θλίψη όλης της διατομής)

Διατομή θλιβόμενη σε όλο το ύψος

Εικόνα A‑15: Η τυχούσα διατομή ύψους h έχει F_c=F_c2-F_c1 και z_c=[F_c2×z_c2-F_c×(h+z_c1)]/F_c

Στην περίπτωση ισχυρής αξονικής δύναμης σε σχέση με την καμπτική ροπή, κυρίως σε υποστυλώματα, η ισορροπία των εσωτερικών δυνάμεων δίνει θλιπτικές παραμορφώσεις ε₂, ε₁, στα δύο άκρα της πλήρους διατομής.

Σε όλες τις περιπτώσεις κρίσιμο υλικό είναι το σκυρόδεμα.

Για τον προσδιορισμό της θλιπτικής δύναμης F_c και την απόσταση της z_c από την άνω ίνα, χρησιμοποιούμε το τέχνασμα που φαίνεται στην Εικόνα Α-15, όπου η θλιβόμενη περιοχή ορίζεται από τη διαφορά δύο ιδεατών διατομών ύψους x₂ η πρώτη και x₁ η δεύτερη με τα αντίστοιχα τριγωνικά διαγράμματα θλιπτικών παραμορφώσεων 022’ και 011’

Ισχύει x₂/x₁=ε₂/ε₁ (i) και x₂-x₁=h (ii)

Η λύση αυτού του απλού συστήματος δίνει x₁=h×ε₁/(ε₂-ε₁) και x₂=h×ε₂/(ε₂-ε₁) για ε₁≠ε₂.

Η λογική που περιγράφεται σ’ αυτή την παράγραφο ισχύει για κάθε είδους διατομή π.χ. την ορθογωνική, την τραπεζοειδή, κλπ.

Στην ορθογωνική διατομή πλάτους b και ύψους h, η πρώτη ιδεατή διατομή είναι πλάτους b και ύψους x₂, ενώ η δεύτερη ιδεατή διατομή είναι πλάτους b και ύψους x₁.

Στην τραπεζοειδή διατομή πλάτους βάσεων b₁, b₂ και ύψους h, η πρώτη ιδεατή τραπεζοειδής διατομή έχει πλάτη βάσης b₃, b₂ και ύψος x₂ ενώ η δεύτερη ιδεατή διατομή έχει πλάτη βάσης b₃, b₁ και ύψος x₁.

Εικόνα A‑16: Δύο διαφορετικές διατομές, μία ορθογωνική και μία τραπεζοειδής, με τα ίδια h και ε₁ (άρα και ε₂)

Οι δυνάμεις που αναλαμβάνει ο χάλυβας

Γενικά

Η δύναμη που αναλαμβάνει κάθε ράβδος οπλισμού οφείλεται στις εφελκυστικές ή στις θλιπτικές παραμορφώσεις της διατομής και στις αντίστοιχες τάσεις [σ_s] του χάλυβα. Ο χάλυβας θεωρείται ότι αναλαμβάνει με τον ίδιο τρόπο τόσο τις αναπτυσσόμενες εφελκυστικές όσο και τις θλιπτικές τάσεις.

Οι δυνάμεις επί των ράβδων είναι κάθετες επί της διατομής, αλλά επειδή σε κάθε στάθμη έχουν την ίδια απόσταση από τον ουδέτερο άξονα, στην κατάκλιση τους που γίνεται η αναπαράσταση, θεωρούνται συγγραμμικές και αναγράφονται αθροιστικά σαν μία δύναμη.

Εικόνα A‑17: Οι δυνάμεις που αναλαμβάνει ο οπλισμός στις περιπτώσεις διακεκριμένων στρώσεων
εφελκυόμενου ή θλιβόμενου οπλισμού, όπως στη συνήθη ορθογωνική και στην ισοσκελή τραπεζοειδή διατομή.

Σημειακός οπλισμός

Έχοντας τις τιμές των ε_c, ε_s, σε κάθε σημείο i της διατομής που υπάρχει μία η περισσότερες ράβδοι οπλισμού στην ίδια στρώση, υπολογίζεται η παραμόρφωση ε_s_,_i και από αυτήν η τάση σ_s_,_i του χάλυβα. Η δύναμη F_s_,_i που αναλαμβάνει η ποσότητα A_s_,_i του χάλυβα σ’ αυτό το σημείο, είναι

Πίνακας A‑3: Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ σ_s

Διανεμημένος οπλισμός

Οι αλγόριθμοι που υπολογίζουν τον αναγκαίο οπλισμό σε μία διατομή πρέπει να ξέρουν από την αρχή την κατανομή του οπλισμού.

Στις περιπτώσεις των πλακών και των συνηθισμένων δοκών, είναι γνωστή η θέση των ράβδων, η οποία λαμβάνεται σε απόσταση d₁ και d₂ από την κάτω και την πάνω ίνα της διατομής.

Εικόνα A‑18: Οι οριζόντιοι οπλισμοί στις πλάκες και τις δοκούς είναι διανεμημένοι, συμπεριφέρονται όμως
σαν σημειακοί επειδή είναι εγκάρσιοι ως προς τις παραμορφώσεις της διατομής

Στην περίπτωση όμως των υποστυλωμάτων, η κατανομή του οπλισμού δεν είναι εξ’ αρχής γνωστή. Εξαρτάται από την ανάγκη σε οπλισμό, από την ανάγκη σε τμήσεις συνδετήρων και άλλους παράγοντες.

Εικόνα A‑19: Τετράτμητοι συνδετήρες κατά x,y

Στο παράδειγμα του υποστυλώματος, δεν είναι γνωστό εξ’ αρχής αν στις 4 γωνίες του υποστυλώματος θα τοποθετηθούν ράβδοι μεγαλύτερης διαμέτρου (π.χ. Ø25) απ’ ότι στις 8 εσωτερικές γωνίες του σταυρού των συνδετήρων (π.χ. Ø20).

Στα υποστυλώματα, οι δύο οριακές κατανομές του οπλισμού είναι: η θεώρηση του οπλισμού στις γωνίες και η θεώρηση του οπλισμού ομοιόμορφα σε όλες τις πλευρές.

Θεώρηση κατανομής του οπλισμού σε υποστύλωμα

Εικόνα A‑20: Θεώρηση κατανομής του οπλισμού σε υποστύλωμα

Σε υποστυλώματα με απαιτήσεις αντισεισμικότητας, μία ικανοποιητική παραδοχή είναι dis=0.50.