Παράρτημα C: Εξισώσεις Της Κάμψης

Για να γίνει εύκολα κατανοητή η δομή αυτού του κεφαλαίου γίνεται μία σύνοψη των προηγούμενων κεφαλαίων της κάμψης. Χρησιμοποιείται ένα παράδειγμα διατομής σε μονοαξονική κάμψη με αξονική δύναμη.

Ο σκοπός της διαστασιολόγησης της διατομής είναι να βρεθεί το ζεύγος των παραμορφώσεων σκυροδέματος και χάλυβα ε_c, ε_s αντίστοιχα, για το οποίο εξισορροπούνται οι εσωτερικές δυνάμεις της διατομής F_c, F_i, με τις εξωτερικές δυνάμεις M,N.

Εικόνα C‑1: Ορθογωνική διατομή υπό μονοαξονική κάμψη

 

Η διατομή του στοιχείου φέρει ράβδους οπλισμού στις ακραίες εφελκυόμενες και θλιβόμενες ίνες καθώς και στις δύο κατακόρυφες παρειές. Η εξωτερική ένταση (M, N) είναι μονοαξονική και η όπλιση συμμετρική, γι’ αυτό η ουδέτερη γραμμή είναι οριζόντια.

Η κατάσταση ισορροπίας που εξετάζεται έχει ακραία παραμόρφωση σκυροδέματος ε_c και ακραίο εφελκυσμό χάλυβα ε_s. Βάσει αυτών των παραμορφώσεων προκαλούνται (προκύπτουν) εσωτερικές δυνάμεις επί του σκυροδέματος και επί του χάλυβα. Οι δυνάμεις αυτές είναι κάθετες επί της διατομής και εδώ αναπαρίστανται στην κατάκλιση της διατομής κατά 90^ο. Πιο συγκεκριμένα, οι δυνάμεις αυτές είναι:

1^ον)  Η δύναμη F_c που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα:

Η δύναμη του σκυροδέματος οφείλεται στις θλιπτικές παραμορφώσεις που αναπτύσσονται επί του σκυροδέματος οι οποίες δημιουργούν τις αντίστοιχες θλιπτικές τάσεις [σ_c] του σκυροδέματος. Θεωρείται ότι το σκυρόδεμα δεν μπορεί να αναλάβει εφελκυσμό και επομένως οι αρνητικές παραμορφώσεις επί του σκυροδέματος δεν δημιουργούν εφελκυστικές τάσεις, άρα ούτε και αντίστοιχη εφελκυστική δύναμη.

2^ον)  Οι δυνάμεις F_i που αναλαμβάνει ο οπλισμός.

Η δύναμη που αναλαμβάνει κάθε ράβδος οπλισμού οφείλεται στις εφελκυστικές ή στις θλιπτικές παραμορφώσεις της διατομής και στις αντίστοιχες τάσεις [σ_s] του χάλυβα. Ο χάλυβας θεωρείται ότι αναλαμβάνει με τον ίδιο τρόπο τόσο τις αναπτυσσόμενες εφελκυστικές  όσο και τις θλιπτικές τάσεις.

Οι δυνάμεις επί των ράβδων είναι κάθετες επί της διατομής, αλλά επειδή σε κάθε στάθμη έχουν την ίδια απόσταση από τον ουδέτερο άξονα, στην κατάκλιση τους που γίνεται η αναπαράσταση, θεωρούνται συγγραμμικές και αναγράφονται αθροιστικά σαν μία δύναμη.

Εικόνα C‑2: Η ίδια διατομή υπό διαξονική κάμψη

Σ’ αυτή την εικόνα, η ίδια διατομή βρίσκεται υπό διαξονική κάμψη και επομένως έχει ουδέτερη γραμμή υπό κλίση. Για εποπτικούς, αλλά και υπολογιστικούς λόγους, εξυπηρετεί να περιστραφεί η διατομή ώστε να παραμείνει οριζόντια η ουδέτερη γραμμή. Η λειτουργία της διατομής είναι ανάλογη της μονοαξονικής και η κυριότερη διαφορά είναι ότι η θλιβόμενη ζώνη είναι πολυγωνική. Οι δυνάμεις επί των ράβδων δεν είναι πλέον συγγραμμικές επειδή είναι μεν παράλληλες προς τους άξονες της διατομής, αλλά απέχουν διαφορετικά από τον ουδέτερο άξονα.

 

Στο πρώτο παράδειγμα της προηγούμενης παραγράφου η θλιβόμενη ζώνη είναι ορθογωνική αλλά στο δεύτερο παράδειγμα η θλιβόμενη ζώνη (i, ii, iii, iv) είναι πολυγωνική. Κάθε πολυγωνική ζώνη μπορεί να αναλυθεί σε ισοδύναμες ορθογωνικές, τριγωνικές ή τραπεζοειδείς διατομές. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, η διατομή μπορεί να αναλυθεί στην τραπεζοειδή διατομή (iv’, iii’, iii, iv) + την τριγωνική διατομή (iii, iii’, ii) – την τριγωνική διατομή (iv, iv’, i). Αυτό που ζητείται σε κάθε διατομή είναι η δύναμη F_c που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα και το σημείο εφαρμογής C στο οποίο εξασκείται αυτή η δύναμη.

 

Η θλιβόμενη ζώνη του σκυροδέματος

 

 

 

Εικονα C‑3: Οι βασικές διατομές, ορθογωνική και τριγωνική και οι παράγωγες τραπεζοειδείς

Η δύναμη Fc και το σημείο εφαρμογής της (zc, yc)  που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα είναι

      (C.1)


x είναι το ύψος της θλιβόμενης ζώνης της διατομής που έχει πλάτος b
α είναι ο συντελεστής απόδοσης της διατομής
κz είναι οι συντελεστές του σημείου εφαρμογής της δύναμης κατά z
κy είναι οι συντελεστές του σημείου εφαρμογής της δύναμης κατά y
αcc είναι συντελεστής που συνεκτιμά μακροχρόνιες επιδράσεις στη θλιπτική αντοχή και δυσμενείς επιρροές που προκύπτουν από τον τρόπο με τον οποίο επιβάλλεται το φορτίο.
f_c=f_cd  όπου f_cd=f_ck/γ_c  , για σχεδιασμό διατομών σε οριακή κατάσταση αστοχίας σε κάμψη.

 

Η δύναμη που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα είναι

και το σημείο εφαρμογής αυτής της δύναμης (yc, zc) είναι:

 

Τη σημερινή εποχή, για κάθε πρακτική χρήση αλλά και για κάθε εκπαιδευτική ή ερευνητική χρήση, απαιτείται η χρήση απλού ή σύνθετου λογισμικού.

Για να καλύψουμε αυτή την ανάγκη έχουμε δημιουργήσει ένα ελεύθερο συνοδευτικό λογισμικό κάμψης για τους αναγνώστες αυτού του βιβλίου.

Το piDesign που είναι ένα σύνθετο παραμετρικό λογισμικό που μπορεί να επιλύσει τα περισσότερα προβλήματα της πράξης.

 

Για να μπορεί να δημιουργήσει ένα άλλο γενικό ή εξειδικευμένο λογισμικό ένας αναγνώστης, επαγγελματίας ή ερασιτέχνης προγραμματιστής, χρειάζεται τις εξισώσεις που υπάρχουν σ’ αυτό το κεφάλαιο. Οι εξισώσεις αυτές έχουν τα παρακάτω χαρακτηριστικά:

-          Διατυπώνουν μαθηματικά τα επιμέρους προβλήματα της κάμψης με τον κατά το δυνατό απλούστερο και κομψότερο τρόπο.

-          Υποστηρίζουν κάθε σχετική ερευνητική ή εκπαιδευτική και εν τέλει, πρακτική εφαρμογή των προβλημάτων της κάμψης.

-          Ισχύουν για τα προβλήματα της μονοαξονικής κάμψης με αξονική δύναμη όσο και της διαξονικής κάμψης με αξονική δύναμη.

1)    Ισχύουν παράλληλα τόσο για την κάμψη σε επίπεδο ελαστικότητας όσο και σε επίπεδο πλαστικότητας.

2)    Οι μαθηματικές διατυπώσεις είναι τέτοιες ώστε να ισχύουν απολύτως για τους Ευρωκώδικες αλλά στην ουσία και για κάθε άλλο σύγχρονο κανονισμό π.χ. τον ACI, τον China codes, Indian codes, κτλ.

3)    Με αυτές τις εξισώσεις μπορεί να ελεγχθεί η αξιοπιστία του κάθε λογισμικού που χρησιμοποιείτε για τα θέματα της κάμψης.

4)    Με αυτές τις εξισώσεις έχουν δημιουργηθεί τα δύο παραπάνω λογισμικά  που διανέμονται ελεύθερα στους αναγνώστες του βιβλίου.

Το λογισμικό σήμερα είναι η καλύτερη δυνατή λύση για την αντιμετώπιση της ποικιλίας των προβλημάτων της κάμψης αλλά και πάλι θα υπάρχουν περιπτώσεις που δε θα καλύπτει το interface του λογισμικού. Γι’ αυτές τις ειδικές περιπτώσεις έχει ληφθεί πρόνοια στο Παράρτημα A όπου αντιμετωπίζονται με το “χέρι”, παράλληλα με τις συνήθεις περιπτώσεις της πράξης και οι ειδικές περιπτώσεις. Οι ειδικές περιπτώσεις δεν περιορίζονται μόνο στις κατηγορίες υλικών και στις παραμέτρους υπολογισμών για τη μελέτη νέων κτιρίων αλλά και για υλικά και παραμέτρους ελέγχου αντοχής υπαρχόντων κτιρίων.

 

Η δημιουργία των Πινάκων της Κάμψης

Οι εξισώσεις αυτού του κεφαλαίου έχουν χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία ενός καινοτομικού λογισμικού που μπορεί να δημιουργήσει Πίνακες επίλυσης όλων των προβλημάτων της κάμψης. Για πρακτικούς λόγους όμως, έγινε επιλογή ενός μέρους από αυτούς, έτσι ώστε να αποτελούν και τη σύνοψη των προβλημάτων  της κάμψης.

Στο κεφάλαιο των Πινάκων, έχουν αναρτηθεί οι πιο αναγκαίοι πινάκες της πράξης με τις εξής πρόνοιες:

1^ον) Υπάρχουν πίνακες για όλες τις κατηγορίες σκυροδεμάτων από C16/20 έως C90/105

2^ον) Υπάρχουν πίνακες για χάλυβες οπλισμού B400, B500, B600 με απλοποιημένο διγραμμικό διάγραμμα τάσεων-παραμορφώσεων (για συμβατότητα με παλιούς κανονισμούς π.χ. DIN 1045) και πίνακες με ακριβές διγραμμικό διάγραμμα που λαμβάνει υπόψη την κράτυνση των σύγχρονων χαλύβων B500c

3^ον) Υπάρχουν ακριβείς πίνακες (όχι νομογραφήματα) διαξονικής κάμψης ορθογωνικών διατομών.

Οι δυσκολίες με τους πίνακες είναι ο απεριόριστος αριθμός για να πιάσει όλους τους συνδυασμούς των υλικών και όλες τις παραλλαγές των παραμέτρων. Για να καλυφθούν όλες οι πιθανές περιπτώσεις θα χρειαζόταν μία ολόκληρη βιβλιοθήκη τόμων επί τόμων, αλλά και πάλι θα υπήρχαν ελλείψεις. Αν αναλογιστούμε μία μόνο παράμετρο των Εθνικών Προσαρτημάτων, του συντελεστή a_cc της κάμψης, ο οποίος λαμβάνει τιμές από 0.85 έως 1.00, αντιλαμβανόμαστε την αναγκαία πολλαπλότητα των πινάκων.

Για τις περιπτώσεις κάποιοι απλοί ή ειδικοί υπολογισμοί δεν καλύπτονται στο κεφάλαιο των Πινάκων, έχει ληφθεί πρόνοια στο Παράρτημα A, όπου αντιμετωπίζονται με το “χέρι”, παράλληλα με τις συνήθεις περιπτώσεις της πράξης και οι ειδικές περιπτώσεις της κάμψης.