Πίνακες

ΠΙΝΑΚΑΣ 1

Ø mm	Μάζα kg/m	Εμβαδόν διατομής σε mm²
		1 τεμ.	2 τεμ.	3 τεμ.	4 τεμ.	5 τεμ.	6 τεμ.	7 τεμ.	8 τεμ.	9 τεμ.
5	0.154	19.6	39	59	79	98	118	137	157	177
6	0.222	28.3	57	85	113	141	170	198	226	254
8	0.395	50.3	101	151	201	251	302	352	402	452
10	0.617	78.5	157	236	314	393	471	550	628	707
12	0.888	113.1	226	339	452	565	679	792	905	1018
14	1.21	153.9	308	462	616	770	924	1078	1232	1385
16	1.58	201.1	402	603	804	1005	1206	1407	1608	1810
18	2.00	254.5	509	763	1018	1272	1527	1781	2036	2290
20	2.47	314.2	628	942	1257	1571	1885	2199	2513	2827
25	3.85	490.9	982	1473	1963	2454	2945	3436	3927	4418
28	4.83	615.8	1232	1847	2463	3079	3695	4310	4926	5542
32	6.31	804.2	1608	2413	3217	4021	4825	5630	6434	7238

Παράδειγμα: 4Ø14 αντιστοιχούν σε διατομή 616 mm² και έχουν μάζα 4×1.21=4.84 kg.

Παράδειγμα: 2Ø20 αντιστοιχούν σε διατομή 628 mm² και έχουν μάζα 2×2.47=4.94 kg.

ΠΙΝΑΚΑΣ 2

Ελαφρά δομικά πλέγματα - Β500Α - ΕΛΟΤ 1421-2

Διαστάσεις φύλου	Τύπος πλέγμα-τος	Εγκάρσια σύρματα			Διαμήκη σύρματα			Εμβαδόν οπλισμού ανά μετρο μήκους	Θεωρη-τική μάζα φύλλου
		Αριθμός	Διάμετρος	Απόσταση	Αριθμός	Διάμετρος	Απόσταση
(m)			(mm)	(mm)		(mm)	(mm)	(mm2/m)	(Kg)
5.00 x 2.15	T131	33	5	150	15	5	150	131	21.5
5.00 x 2.15	T188	33	6	150	15	6	150	188	32.4
5.00 x 2.15	T196	50	5	100	22	5	100	196	33.5

Παράδειγμα: ένα πλέγμα Τ188 έχει τετράγωνους βρόγχους 150×150 mm με οπλισμό Ø6/150 που αντιστοιχεί σε 188 mm²/m, ίδια και προς τις δύο διευθύνσεις. Η μάζα του φύλλου είναι 32.4 kg.

ΠΙΝΑΚΑΣ 4α- ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΩΝ ΒΑΣΕΙ ΑΝΤΟΧΗΣ [EC2, Πίνακας 3.1]

f_ck (MPa)	12	16	20	25	30	35	40	45	50	55	60	70	80	90
f_ck,cube (MPa)	15	20	25	30	37	45	50	55	60	67	75	85	95	105
f_cm (MPa)	20	24	28	33	38	43	48	53	58	63	68	78	88	98
f_ctm (MPa)	1,6	1,9	2,2	2,6	2,9	3,2	3,5	3,8	4,1	4,2	4,4	4,6	4,8	5,0
f_ctk,0.05 (MPa)	1,1	1,3	1,5	1,8	2,0	2,2	2,5	2,7	2,9	3,0	3,1	3,2	3,4	3,5
f_ctk,0.95 (MPa)	2,0	2,5	2,9	3,3	3,8	4,2	4,6	4,9	5,3	5,5	5,7	6,0	6,3	6,6
E_cm (GPa)	27	29	30	31	33	34	35	36	37	38	39	41	42	44
ε_c2 (‰)	2,0									2,2	2,3	2,4	2, 5	2,6
ε_cu2 (‰)	3,5									3,1	2,9	2,7	2,6	2,6
n	2,0									1,75	1,6	1,45	1,4	1,4

Αναλυτικές σχέσεις/εξηγήσεις:

f_cm Μέση θλιπτική αντοχή κυλίνδρου σκυροδέματος, f_cm = f_ck + 8 (MPa)

f_ctm Μέση τιμή αντοχής σκυροδέματος σε καθαρό εφελκυσμό, f_ctm = 0,30fck2/3 ≤ C50/60 και f_ctm=2.12ln(1+f_cm/10) για κατηγορία > C50/60

f_ctk,0.05 Χαρακτηριστική αντοχή σκυροδέματος σε καθαρό εφελκυσμό f_ctk,0,05 = 0,7fctm 5% f_ctk,0.95 f_ctk,0,95 = 1,3fctm

E_cm Επιβατικό μέτρο ελαστικότητας του σκυροδέματος E_cm = 22(f_cm/10)0,3103 ε_c2 (‰) Θλιπτική παραμόρφωση στο σκυρόδεμα στη μέγιστη τάση f_ck. Για f_ck ≥ 50 Mpa ε_c2(‰)=2.0+0,085(f_ck-50)0,53

ε_cu2 (‰) Θλιπτική παραμόρφωση αστοχίας στο σκυρόδεμα. Για f_ck ≥ 50 Mpa ε_cu2 (‰)=2.6+35[(90-f_ck)/100]4

n εκθέτης για f_ck ≥ 50 MΡa n=1.4+23.4[(90- f_ck)/100]4

Ο πλήρης πίνακας περιλαμβάνει και άλλα δύο ζεύγη οριακών παραμορφώσεων:

(ε_c1,ε_cu1) που αφορούν τις οριακές παραμορφώσεις για χρήση στη μη-γραμμική ανάλυση και

(ε_c3,ε_cu3) που αφορούν την περίπτωση χρήσης προσεγγιστικού (διγραμμικού) διαγράμματος τάσεων παραμορφώσεων.

Με την παραδοχή f_cd=f_ck/γ_c [EC2, §3.1.6] και την επόμενη σχέση τάσεων-παραμορφώσεων

για 0 ≤ε_c ≤ ε_c2 και για ε_c2 <ε_c ≤ ε_{cu2 ,}

έχουμε τα διαγράμματα της επόμενης σελίδας για γ_c=1.50.

ΠΙΝΑΚΑΣ 4b - Διαγράμματα τάσεων-παραμορφώσεων κάθε κατηγορίας σκυροδέματος

ΠΙΝΑΚΕΣ 6 - Όλα τα σκυροδέματα

ΔΥΝΑΜΗ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΥΠΟ ΚΑΜΨΗ

Παραδείγματα χρήσης των πινάκων:

Ζητείται η δύναμη F_c που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα και το σημείο εφαρμογής της z_c, σε στοιχείο με θλιβόμενη ορθογωνική διατομή πλάτους b=300mm όταν το x=200 mm στις περιπτώσεις που το ε_c=1‰, ε_c=2‰, ε_c=2.5‰ και ε_c=ε_cu2.

Για κάθε ε_c θα εξεταστούν οι κατηγορίες σκυροδέματος C30, C50, C70 και C90

Δίνονται: acc=0.85 και γ_c=1.50

Λύση:

Υπολογίζεται ενδεικτικά η τιμή της δύναμης F_c και του σημείου εφαρμογής της z_c, για ε_c =1.0‰ και f_ck=30MPa. Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται και οι υπόλοιπες δυνάμεις στον πίνακα που ακολουθεί.

Από τον Πίνακα 6a προκύπτει α=0.417 και από τον Πίνακα 6b, κ=0.350 → F_c=acc·(f_ck/γ_c)·b·α·x= =0.85× (30×103kPa/1.50)×0.30m×0.417×0.20m=425 kN και z_c=κ·x=0.350×200mm=70 mm

ε_c	f_ck	α	F_c	κ	z_c
‰	MPa		kN		mm
1.00	30	0.417	425	0.350	70
	50		708
	70	0.282	671	0.340	68
	90	0.255	779	0.338	68
2.00	30	0.6667	680	0.375	75
	50		1133		75
	70	0.516	1229	0.349	70
	90	0.474	1451	0.346	69
2.50	30	0.733	748	0.391	78
	50		1247
	70	0.608	1447	0.357	71
	90	0.567	1734	0.351	70
3.50	30	0.8095	826	0.4160	83
	50		1376
2.70	70	0.6372	1517	0.3620	72
2.60	90	0.5833	1785	0.3529	71

ΠΙΝΑΚΑΣ 8.1a

Συντελεστές α υπολογισμού της δύναμης Fc σκυροδέματος ΟΡΘΗΣ ΤΡΑΠΕΖΟΕΙΔΟΥΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ για C12-50

ΠΙΝΑΚΑΣ 8.1b

Συντελεστές κ_z,κ_y υπολογισμού της θέσης της δύναμης F_cσκυροδέματος ΟΡΘΗΣ ΤΡΑΠΕΖΟΕΙΔΟΥΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ για C12-50

ΠΙΝΑΚΑΣ 12a

ΜΟΝΟΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΜΨΗ ΠΛΑΚΟΔΟΚΟΥ ΓΙΑ b/bw=2 ΣΕ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ή ΔΙΑΡΡΟΗΣ

1^ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Δίνεται: Διατομή κορμού 400x600 και πλάκας 800x110, d₁=50mm, με B500, f_ck=25 MPa, M_d=500 kNm και N_d=-86.8 kN. Ζητείται: Ο οπλισμός και η καμπυλότητα σε κατάσταση αστοχίας και διαρροής για a_cc=1.0.

Γεωμετρικά στοιχεία: b/b_w=800/400=2, d=550 mm, h_f=110 mm, h_f/d=110/550=0.20 → i=3.

Υπολογισμός Κ.Β. διατομής: z_up=[b_w×h²/2+(b-b_w)×h_f²/2]/[b_w×h+(b-b_w)×h_f]=0.262m → z_s=d-z_up=0.288m.

M_sd=M_d-N_d×z_s=500+86.8×0.288=525kNm,
m_sd =M_sd/(a_cc×f_cd×b_w×d²)= 525kNm/[1.0×(25/1.5)×10³kPa×0.40m×0.55²m²]→

m_sd=26.0% όπου και το σημείο I.

Κατάσταση αστοχίας:

Από το άνω τμήμα του Νομογραφήματος 12a προκύπτει επί της καμπύλης [ρ₃]το σημείο IΙΙ που δίνει ρ_01,u=1.29‰ → ρ₁=ρ₀₁×a_cc×f_cd/20=1.29×1.0×(25/1.5)/20=1.075% →

A_s1,u=ρ₁×b_w×d+N_d/σ_s1=1.075×400mm×550mm/100 –[86.8kN/(434,78×10³kPa) ×10⁶]=2365 - 200 →

A_s_1,_u=2165mm².

Η τομή της ευθείας II-III με την καμπύλη [ε₃] δίνει το σημείο IV στο οποίο αντιστοιχούν τα σημεία V και VI που δίνουν ε_c,u/ε_s,u=3.50‰/16.8‰ → φ_d,u=(ε_c+ε_s)/d → φ_d,u=36.9‰/m

Το piDesign δίνει με ακρίβεια A_s=2166mm², ε_c/ε_s=3.50‰/16.70‰, φ_d,u=36.8‰/m

Κατάσταση διαρροής:

Από το κάτω τμήμα του Νομογραφήματος 12a προσδιορίζονται τα σημεία I, II, III, IV, V, VI και προκύπτουν ρ_01,y=1.35‰ → και ε_c,y/ε_s,y=1.16‰/2.174‰ οπότε ρ₁= 1.35×1.0×(25/1.5)/20=1.125% →

A_s1,y=ρ₁×b_w×d+N_d/σ_s1=1.125×400mm×550mm/100-86.8kN/434.78MPa=2475-200 → A_s1,y=2275 mm² και φ_d,y=(ε_c+ε_s)/d → φ_d,y=6.06‰/m

Το piDesign δίνει με ακρίβεια A_s=2262mm², ε_c/ε_s=1.16‰/2.174‰, φ_d,y=6.06‰/m

2^ο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Ζητείται η συμπεριφορά σε κατάσταση διαρροής της διατομής του 1^ου παραδείγματος με τον ίδιο οπλισμό που προέκυψε σε κατάσταση αστοχίας.

Ο οπλισμός που είχε προκύψει ήταν A_s₁=2165 mm,² ο οποίος στην κατάσταση διαρροής έχει ρ_01,_y=ρ_01,_u=1.29%, όπου πλέον αυτό είναι το νέο σημείο I (με μωβ χρώμα όπως είναι και τα υπόλοιπα νέα σημεία στο νομογράφημα της διαρροής). Το σημείο II βρίσκεται επί της καμπύλης [ρ₃] και από αυτό προκύπτει το σημείο III επί του άξονα m_sd και έχει τιμή m_sd=25% που δίνει M_sd=m_sd×(a_cc×f_cd×b_w×d²)= 504.2kNm και M_d=M_sd+N_d×z_s=504.2-25.0= 479.2kNm. Το σημείο τομής της ευθείας I-II με την καμπύλη [ε₃] είναι το σημείο IV και εν συνεχεία τα σημεία V, VI που δίνουν ε_c/ε_s=1.12‰/2.174‰ → φ_d,y=6.0%/m.

Το piDesign δίνει με ακρίβεια M_Rd=480.5 kNm, ε_c/ε_s=1.122‰/2.174‰, φ_d,y=5.99‰/m

Η δύναμη που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα

Στο πρώτο παράδειγμα της προηγούμενης παραγράφου η θλιβόμενη ζώνη είναι ορθογωνική αλλά στο δεύτερο παράδειγμα η θλιβόμενη ζώνη (i, ii, iii, iv) είναι πολυγωνική. Κάθε πολυγωνική ζώνη μπορεί να αναλυθεί σε ισοδύναμες ορθογωνικές, τριγωνικές ή τραπεζοειδείς διατομές. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, η διατομή μπορεί να αναλυθεί στην τραπεζοειδή διατομή (iv’, iii’, iii, iv) + την τριγωνική διατομή (iii, iii’, ii) – την τριγωνική διατομή (iv, iv’, i). Αυτό που ζητείται σε κάθε διατομή είναι η δύναμη F_c που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα και το σημείο εφαρμογής C στο οποίο εξασκείται αυτή η δύναμη.

Η θλιβόμενη ζώνη του σκυροδέματος

Εικονα C‑3: Οι βασικές διατομές, ορθογωνική και τριγωνική και οι παράγωγες τραπεζοειδείς

Η δύναμη Fc και το σημείο εφαρμογής της (zc, yc) που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα είναι

(C.1)

x είναι το ύψος της θλιβόμενης ζώνης της διατομής που έχει πλάτος b
α είναι ο συντελεστής απόδοσης της διατομής
κz είναι οι συντελεστές του σημείου εφαρμογής της δύναμης κατά z
κy είναι οι συντελεστές του σημείου εφαρμογής της δύναμης κατά y
αcc είναι συντελεστής που συνεκτιμά μακροχρόνιες επιδράσεις στη θλιπτική αντοχή και δυσμενείς επιρροές που προκύπτουν από τον τρόπο με τον οποίο επιβάλλεται το φορτίο.
f_c=f_cd όπου f_cd=f_ck/γ_c , για σχεδιασμό διατομών σε οριακή κατάσταση αστοχίας σε κάμψη.

Η δύναμη που αναλαμβάνει το σκυρόδεμα είναι

και το σημείο εφαρμογής αυτής της δύναμης (yc, zc) είναι:

Η δημιουργία Λογισμικού για την Κάμψη

Τη σημερινή εποχή, για κάθε πρακτική χρήση αλλά και για κάθε εκπαιδευτική ή ερευνητική χρήση, απαιτείται η χρήση απλού ή σύνθετου λογισμικού.

Για να καλύψουμε αυτή την ανάγκη έχουμε δημιουργήσει ένα ελεύθερο συνοδευτικό λογισμικό κάμψης για τους αναγνώστες αυτού του βιβλίου.

Το piDesign που είναι ένα σύνθετο παραμετρικό λογισμικό που μπορεί να επιλύσει τα περισσότερα προβλήματα της πράξης.

Για να μπορεί να δημιουργήσει ένα άλλο γενικό ή εξειδικευμένο λογισμικό ένας αναγνώστης, επαγγελματίας ή ερασιτέχνης προγραμματιστής, χρειάζεται τις εξισώσεις που υπάρχουν σ’ αυτό το κεφάλαιο. Οι εξισώσεις αυτές έχουν τα παρακάτω χαρακτηριστικά:

- Διατυπώνουν μαθηματικά τα επιμέρους προβλήματα της κάμψης με τον κατά το δυνατό απλούστερο και κομψότερο τρόπο.

- Υποστηρίζουν κάθε σχετική ερευνητική ή εκπαιδευτική και εν τέλει, πρακτική εφαρμογή των προβλημάτων της κάμψης.

- Ισχύουν για τα προβλήματα της μονοαξονικής κάμψης με αξονική δύναμη όσο και της διαξονικής κάμψης με αξονική δύναμη.

1) Ισχύουν παράλληλα τόσο για την κάμψη σε επίπεδο ελαστικότητας όσο και σε επίπεδο πλαστικότητας.

2) Οι μαθηματικές διατυπώσεις είναι τέτοιες ώστε να ισχύουν απολύτως για τους Ευρωκώδικες αλλά στην ουσία και για κάθε άλλο σύγχρονο κανονισμό π.χ. τον ACI, τον China codes, Indian codes, κτλ.

3) Με αυτές τις εξισώσεις μπορεί να ελεγχθεί η αξιοπιστία του κάθε λογισμικού που χρησιμοποιείτε για τα θέματα της κάμψης.

4) Με αυτές τις εξισώσεις έχουν δημιουργηθεί τα δύο παραπάνω λογισμικά που διανέμονται ελεύθερα στους αναγνώστες του βιβλίου.

Το λογισμικό σήμερα είναι η καλύτερη δυνατή λύση για την αντιμετώπιση της ποικιλίας των προβλημάτων της κάμψης αλλά και πάλι θα υπάρχουν περιπτώσεις που δε θα καλύπτει το interface του λογισμικού. Γι’ αυτές τις ειδικές περιπτώσεις έχει ληφθεί πρόνοια στο Παράρτημα A όπου αντιμετωπίζονται με το “χέρι”, παράλληλα με τις συνήθεις περιπτώσεις της πράξης και οι ειδικές περιπτώσεις. Οι ειδικές περιπτώσεις δεν περιορίζονται μόνο στις κατηγορίες υλικών και στις παραμέτρους υπολογισμών για τη μελέτη νέων κτιρίων αλλά και για υλικά και παραμέτρους ελέγχου αντοχής υπαρχόντων κτιρίων.

Η δημιουργία των Πινάκων της Κάμψης

Οι εξισώσεις αυτού του κεφαλαίου έχουν χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία ενός καινοτομικού λογισμικού που μπορεί να δημιουργήσει Πίνακες επίλυσης όλων των προβλημάτων της κάμψης. Για πρακτικούς λόγους όμως, έγινε επιλογή ενός μέρους από αυτούς, έτσι ώστε να αποτελούν και τη σύνοψη των προβλημάτων της κάμψης.

Στο κεφάλαιο των Πινάκων, έχουν αναρτηθεί οι πιο αναγκαίοι πινάκες της πράξης με τις εξής πρόνοιες:

1^ον) Υπάρχουν πίνακες για όλες τις κατηγορίες σκυροδεμάτων από C16/20 έως C90/105

2^ον) Υπάρχουν πίνακες για χάλυβες οπλισμού B400, B500, B600 με απλοποιημένο διγραμμικό διάγραμμα τάσεων-παραμορφώσεων (για συμβατότητα με παλιούς κανονισμούς π.χ. DIN 1045) και πίνακες με ακριβές διγραμμικό διάγραμμα που λαμβάνει υπόψη την κράτυνση των σύγχρονων χαλύβων B500c

3^ον) Υπάρχουν ακριβείς πίνακες (όχι νομογραφήματα) διαξονικής κάμψης ορθογωνικών διατομών.

Οι δυσκολίες με τους πίνακες είναι ο απεριόριστος αριθμός για να πιάσει όλους τους συνδυασμούς των υλικών και όλες τις παραλλαγές των παραμέτρων. Για να καλυφθούν όλες οι πιθανές περιπτώσεις θα χρειαζόταν μία ολόκληρη βιβλιοθήκη τόμων επί τόμων, αλλά και πάλι θα υπήρχαν ελλείψεις. Αν αναλογιστούμε μία μόνο παράμετρο των Εθνικών Προσαρτημάτων, του συντελεστή a_cc της κάμψης, ο οποίος λαμβάνει τιμές από 0.85 έως 1.00, αντιλαμβανόμαστε την αναγκαία πολλαπλότητα των πινάκων.

Για τις περιπτώσεις κάποιοι απλοί ή ειδικοί υπολογισμοί δεν καλύπτονται στο κεφάλαιο των Πινάκων, έχει ληφθεί πρόνοια στο Παράρτημα A, όπου αντιμετωπίζονται με το “χέρι”, παράλληλα με τις συνήθεις περιπτώσεις της πράξης και οι ειδικές περιπτώσεις της κάμψης.