en-USel-GRes-ES
Menu

Παράρτημα Γ

Εισαγωγή >
Ο σκελετός του κτιρίου
Η κατασκευή
Οπλισμός I
Οπλισμός II
Προμέτρηση και κοστολόγηση
Σχέδια εφαρμογής


Εισαγωγή >
Δυνάμεις σεισμού και ανέμου
Προσομοιώματα-Επιλύσεις
Προσομοίωση πλακών με πεπερασμένα
Ολόσωμες πλάκες
Σεισμική Συμπεριφορά Πλαισίων
Παράρτημα Α
Παράρτημα Β
Παράρτημα Γ
Παράρτημα Δ

Εισαγωγή >
Υλικά
Συνεχίζεται >

Περιγραφή του θέματος

Απλό παράδειγμα ορόφου με 4 υποστυλώματα
που καταλήγουν σε άκαμπτη πλάκα-διάφραγμα

 

Γενικά, κατά την οριζόντια ώθηση H ενός ορόφου, λόγω της ύπαρξης της πλάκας που στο επίπεδο της είναι πρακτικά άκαμπτη, όλα τα σημεία, άρα και οι κεφαλές των κολονών επί της πλάκας θα κινηθούν με τον ίδιο κανόνα.

Ο κανόνας αυτής της κίνησης είναι ότι το διάφραγμα θα έχει μία παράλληλη (μεταφορική) μετατόπιση κατά δxo, δyo και μία περιστροφή θz πέριξ ενός σημείου CT(xCT, yCT) που ονομάζεται πόλος περιστροφής, στο σύστημα xCTy που έχει αρχή των αξόνων το σημείο CT και γωνία κλίσης a ως προς το αρχικό σύστημα X0Y.

 

 

Συστήματα συντεταγμένων

Χ0Υ     αρχικό σύστημα συντεταγμένων
x’0y    βοηθητικό σύστημα συντεταγμένων
xCTy    κύριο σύστημα συντεταγμένων

Παράλληλη μετατόπιση προς τις δύο διευθύνσεις
και στροφή, του διαφράγματος, λόγω της δύναμης H

Αλλαγή συστήματος αξόνων

 

ζ= x·cosφ+y·sinφ

η=-x·sinφ+y·cosφ

 

x=ζ·cosφ-η·sinφ

y=ζ·sinφ+η·cosφ

 

διάνυσμα επί του x:

ζ=x·cosφ & η=-x·sinφ

 

διάνυσμα επί του y

ζ=y·sinφ & η=y·cosφ


Τυπολόγιο αλλαγής αξόνων λόγω στροφής

1η κατάσταση: Μετατόπιση του πόλου περιστροφής CT κατά τη διεύθυνση x

 

Εξασκώντας οριζόντια δύναμη Hx επί του CT κατά x, θα πρέπει να ισχύουν οι 3 παρακάτω εξισώσεις ισορροπίας:

·         Το άθροισμα των δυνάμεων κατά τη διεύθυνση x να είναι ίσο με Hx, δηλαδή  Hx=Σ(Vxxoi)                                                                  (i)

·         Το άθροισμα των δυνάμεων κατά τη διεύθυνση y να είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή  Σ(Vxyoi)=0.0                                                            (ii)

·         Το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων Vxxoi και Vxyoi ως προς το σημείο CT να είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή Σ(Vxxoi·yi-Vxyoi·xi)=0     (iii)                                                                               

όπου Vxyoixo·Kxyi με Kxyi=1/2·(Kζi-Kηi)·sin2φ’i   και φ’ii-a

Η (i) δίνει Hx=Σ(δxo·Kxxi)=δxo·Σ(Kxxi)   όπου 

Επειδή ισχύει η ταυτότητα sin(w1-w2)=sinw1·cosw2-cosw1·sinw2, Kxyi=1/2·(Kζi-Kηi)·(sini·cos2a-cosi·sin2a) η εξίσωση (ii) γίνεται Σ(Kxyi)=0 Σ[(Kζi-Kηi)·sini·cos2a]=Σ[(Kζi-Kηi)cosi·sin2a] cos2a·Σ[(Kζi-Kηi)·sini]=sin2a·Σ[(Kζi-Kηi)·cosi]

                                                                (3)

Από αυτή τη σχέση υπολογίζεται η γωνία a του κυρίου συστήματος, του οποίου όμως δεν γνωρίζουμε ακόμη τις συντεταγμένες xCT, yCT του πόλου περιστροφής CT. Μπορούμε να εργασθούμε στο βοηθητικό σύστημα x’0y’ που είναι παράλληλο προς το xCTy και έχει το πλεονέκτημα ότι οι δυσκαμψίες του είναι ίδιες με αυτές του τελικού κύριου συστήματος xCTy. Μεταφέρουμε επομένως τις συντεταγμένες X,Y στις x’,y’.

Παράδειγμα:

Υπολογισμός γωνίας a κυρίου συστήματος :

Συνεχίζοντας με τις τιμές των Kζ, Kη που έχουν ήδη υπολογιστεί και δεδομένου ότι 2φ1=2φ2=0˚, 2φ3=60˚ και 2φ4=90˚, προκύπτει:

(3) tan2a=Σ[(Kζi-Kηi)·sin2φi]/Σ[(Kζi-Kηi)·cos2φi]

tan2a=[(31.1-31.1)·106·sin0˚ +(31.1-31.1)·106·sin0˚+(186.6-26.2)·106·sin60˚+ (19.7-78.7)·106·sin90˚]/

/[( 31.1-31.1)·106·cos0˚+(31.1-31.1)·106·cos0˚ + (186.6-26.2) ·106·cos60˚+ (19.7-78.7)·106·cos90˚]= =[0+0+138.9-59.0]/[0+0+80.2+0.0]=79.9/80.2=0.996 2a=44.88˚ a=22.44˚

Άρα το κύριο σύστημα έχει κλίση γωνίας a=22.44˚

Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων : Από το αρχικό σύστημα X0Y μεταφερόμαστε στο βοηθητικό x’0y’ που είναι παράλληλο προς το κύριο σύστημα συντεταγμένων xCTy και επομένως έχει γωνία κλίσης a=22.4˚:

Είναι sina=0.3817, cosa=0.9243

C1: από C1(0,0) και φ1=0˚ γίνεται C1(0,0) φ’1=-22.44˚

C2: από C2(6.0,0) και φ2=0˚ γίνεται C2(6.0·0.924=5.544, -6.0·0.3817=-2.290), φ’2=-22.44˚

C3: από C3(0.0,5.0) και φ3=30˚  γίνεται C3(5.0·0.3817=1.9085, 5.0·0.924=4.62), φ’3=30˚-22.44˚ =7.56˚ C3(5.544, -2.290), φ’3=7.56˚

C4: από C4(6.0, 5.0) και φ4=45˚  γίνεται C4(6.0·0.924+5.0·0.3817=7,4542, -6.0·0.3817+5.0·0.9243=2.331), φ’4=45˚-22.44˚ =22.56˚ C4(7.454, -2.331), φ’4=22.56˚

CM: από CM(3.0, 2.5) γίνεται CM(3.0·0.924+2.5·0.3817=3.727, -3.0·0.3817+2.5·0.9243=1.166)


Εργαζόμαστε στο βοηθητικό σύστημα συντεταγμένων x’0y’

Είναι xi=xi-xCT και yi=yi-yCT  οπότε από την εξίσωση (iii) προκύπτει:

δxo·Σ((yi-yo)·Kxxi-(xi- xCT)·Kxyi)=0 Σ(yi·Kxxi)-yo·Σ(Kxxi)-Σ(xi·Kxyi)+ xCT·Σ(Kxyi)=0

Σ((xi- xCT)·Kyyi-(yi- yCT)·Kxyi)=0 -Σ(yi·Kxyi)+ yCT ·Σ(Kxyi)+Σ(xi·Kyyi)- xCT·Σ(Kyyi)=0.

Επειδή Σ(Kxyi)=0, Σ(yi·Kxxi)- yCT·Σ(Kxxi)-Σ(xi·Kxyi)=0

-Σ(yi·Kxyi)+Σ(xi·Kyyi)- xCT·Σ(Kyyi)=0 →  

  

 

2η κατάσταση: Μετατόπιση του πόλου περιστροφής CT κατά τη διεύθυνση y

Με ανάλογο τρόπο και λαμβάνοντας υπόψη ότι Kyxi=Kxyi, προκύπτουν οι αντίστοιχοι τύποι:όπου

   όπου  ,       

Άρα τελικά οι σχέσεις είναι:

,    όπου                             (4)

,    όπου                             (5)

Παράδειγμα:

Δυσκαμψίες κολονών ως προς το κύριο σύστημα xCTy:

C1, C2 επειδή είναι τετράγωνες Kxx1=Kyy1=Kxx2=Kyy2=31.1·106 N/m, Kxy1=Kxy2=0.0

C3: φ’3=7.56˚ (a) Kxx3= Kζ3·cos2φ3+Kη3·sin2φ3 =[186.6·0.99132+26.2·0.13162]·106=183.82·106 N/m

(b)  Kxy3=(1/2)·(Kζ3-Kη3sin3=0.5·(186.6-26.2)· 106·0.261=20.93·106 N/m

(d) Kyy3= Kζ3·sin2φi+Kη3·cos2φ3 =[186.6·0.13162+26.2·0.99132] ·106 N/m =28.98·106 N/m

C4: φ’4=22.56˚ (a) Kxx4=Kζ4·cos2φ4+Kη4·sin2φ4=[19.7·0.92352+78.7·0,38372] ·106=28.39·106 N/m

(b)  Kxy4=(1/2)·(Kζ4-Kη4)·sin4=0.5·(19.7-78.7)·106·0.709=-20.92·106 N/m

(d) Kyy4= Kζ4·sin2φi+Kη4·cos2φ3 =[19.7·0,38372+78.7·0.92352] ·106=70.02·106 N/m

Συνολικές δυσκαμψίες του διαφράγματος και στατικές ροπές των δυσκαμψιών ως προς το CT :

Kxx=Σ(Kxxi)=( 31.1+31.1+183.82+28.39) ·106=274.41·106 N/m

Kyy=Σ(Kyyi)= (31.1+31.1+28.98+70.02) ·106=161.2·106 N/m

Σ(xi·Kyyi)=[0.0·31.1+5.544·31.1+1.9085·28.98+7.4542·70.02]·106 =749.55·106 N

Σ(xi·Kxyi)=[0.0·0+5.544·0+1.9085·20.93+7.4542·(-20.93)]·106=-116.07·106 N

Σ(yi·Kxxi)=[0.0·31.1 -2.29·31.1 +4.62·183.82+2.331·28.39]·106=844.21·106 N

Σ(yi·Kxyi)= [0.0·0.0 -2.29·0.0 +4.62·20.93+2.331· (-20.92)]·106=47.93·106 N

xCK=[Σ(xi·Kyyi)-Σ(yi·Kxyi)]/Σ(Kyyi)=( 749.55-47.93)/161.2=4.353 m

y’CK=[Σ(y’i·Kxxi)-Σ(x’i·Kxyi)]/Σ(Kxxi)=( 844.21+116.07)/274.41=3.500 m

 

3η κατάσταση: Στροφή θz του διαφράγματος γύρω από τον πόλο περιστροφής CT

Μετατοπίσεις λόγω στροφής από ροπή M στο Κέντρο Ελαστικής Στροφής CT

Οι μετατοπίσεις τυχόντος σημείου i του διαφράγματος λόγω στροφής κατά θz

 

δi=ri·θz

δxi =-δi·sinωi

sinωi =yi /ri

δxi =-ri·θz·yi/ri=-yi·θz

δyi=xi·θz

Εργαζόμαστε στο κύριο σύστημα συντεταγμένων xCTy

Εξετάζουμε την παραμόρφωση που δημιουργείται από εξωτερική ροπή M που εξασκείται στο κέντρο ελαστικής στροφής CT . Για να εξετάσουμε αυτή τη κίνηση πρέπει να μεταφερθούμε από το βοηθητικό x’0y’ στο κύριο σύστημα xCTy και για να γίνει αυτό χρειάζεται απλώς μία παράλληλη μεταφορά. Μεταφέροντας και το κέντρο μάζας στο κύριο σύστημα, έχουμε τις στατικές εκκεντρότητες eox, eoy του CM ως προς το CT από τις σχέσεις:

 

 ,  , ,                                        (6)

 

Η παραμόρφωση του διαφράγματος είναι μία στροφή θz γύρω από το CT. Η στροφή θz του διαφράγματος προκαλεί μετατόπιση δi στη κεφαλή κάθε υποστυλώματος i που έχει συντεταγμένες xi,yi ως προς το σύστημα συντεταγμένων με αρχή το CT. Αν η απόσταση του σημείου i από το CT είναι ri, οι δύο συνιστώσες της (απειροστής) παραμόρφωσης δi είναι: δxi=-θz·yi και δyi= θz·xi

 

Παράδειγμα:

Μεταφορά συντεταγμένων στο κύριο σύστημα και υπολογισμός των στατικών εκκεντροτήτων :

Από τις σχέσεις (6) προκύπτουν

C1(0.0-4.353=-4.35, 0.0-3.500=-3.50) φ’1=-22.44˚                Kxx=31.1·106, Kyy=31.1·106, Kxy=0.0

C2(5.544-4.353=1.19, -2.290-3.500=-5.79), φ’2=-22.44˚                   Kxx=31.1·106, Kyy=31.1·106, Kxy=0.0

C3(1.9085-4.353=-2.44, 4.62-3.500=1.12), φ’3=7.56˚                        Kxx=183.82, Kyy=28.98, Kxy=20.93

C4(7,4542-4.353=3.10, 2.3312-3.500=-1.17), φ’4=22.56˚      Kxx=28.39, Kyy=70.02, Kxy=-20.92

CM(3.727-4.353=-0.626, 1.166-3.500=-2.334) και προφανώς CT(0,0)

eox=-0.626 m, eoy=-2.334 m

 

 

Οι μετατοπίσεις δxi, δyi δημιουργούν σε κάθε υποστύλωμα τέμνουσες Vxi και Vyi όπου

Vxi=Kxxi·δxi= Kxxi·(-θz·yi ) Vxi= -θz·Kxxi·yi και             Vyi=Kyyi·δyi=kyyi·θz·xi             Vyiz·kyyi·xi

Η συνισταμένη των ροπών όλων των τεμνουσών δυνάμεων Vxi, Vyi ως προς το κέντρο ελαστικής στροφής πρέπει να είναι ίση με την εξωτερική ροπή MCT  δηλαδή:

    όπου                                                      (7)

Παράδειγμα:

Υπολογισμός δυστρεψίας διαφράγματος :

Κθ=Σ(Kxxi·yi2+Kyyi·xi2+Kzi)=Σ[31.1·3.52+31.1·4.352+31.1·5.792+31.1·1.192+183.82·1.122+ 28.98·2.442+28.39·1.172+70.02·3.102]·106 N·m= =[381.0+588.5+1042.6+44.0+230.6+172.5+38.9+672.9] ·106 N·m Κθ=3174·106 N·m

 

Η ποσότητα Κθ=Σ(Kxxi·yi2 + Kyyi·xi2+Kzi) ονομάζεται δυστρεψία του διαφράγματος και έχει μονάδες ροπής π.χ. N·m, κατ’ αναλογία με τις ποσότητες Kx=Σ(Kxi), Ky=Σ(Kyi) που ονομάζονται μεταφορικές δυσκαμψίες του διαφράγματος κατά τη διεύθυνση x και y αντίστοιχα και έχουν μονάδες N/m. Η (ίδια) δυστρεψία της κολόνας είναι συνήθως μικρή και μπορεί να αγνοείται (§5.4.3.4).

Ορισμοί:

Μεταφορική δυσκαμψία Κjk διαφράγματος είναι η δύναμη κατά j που χρειάζεται για να προκαλέσει μετατόπιση του διαφράγματος κατά μία μονάδα προς τη διεύθυνση k.

Δυστρεψία διαφράγματος Κθ είναι η ροπή που χρειάζεται για να προκαλέσει στροφή του διαφράγματος κατά μία μονάδα.

Έλλειψη και ακτίνες δυστρεψίας

 

Ζητείται η δημιουργία ενός ιδεατού απλού ισοδύναμου στατικού συστήματος που θα έχει την ίδια σεισμική συμπεριφορά με το πραγματικό στατικό σύστημα.

Απάντηση: Τοποθετούμε 4 ιδεατές κολόνες E1, E2 και E3, E4 συμμετρικά ως προς το κέντρο CT και ως προς τους άξονες x και y, δηλαδή και οι 4 ιδεατές κολόνες έχουν την ίδια απόλυτη τιμή της συντεταγμένης x και της συντεταγμένης y. Οι ιδεατές κολόνες E1, E2, E3, E4  θεωρείται ότι η κάθε μία έχει δυσκαμψία Kx=1/4·Σ(Kxi) και Ky=1/4·Σ(Kyi).

Το σύστημα αυτό ικανοποιεί τις 2 συνθήκες του πραγματικού συστήματος που αφορούν τις μετακινήσεις ολίσθησης του διαφράγματος του συνόλου των κολονών επειδή έχει :

Δυσκαμψία κατά x: 4·1/4·Σ(Kxi)=Σ(Kxi) και δυσκαμψία κατά y: 4·(1/4)·Σ(Kyi)=Σ(Kyi).

Για να ικανοποιείται η 3η συνθήκη, πρέπει το ιδεατό σύστημα να έχει δυστρεψία Kθ,eq=[Kx1·y2+Kx2·y2+Ky1·x2+Ky2·x2]=Σ(Kxxi)·y2+Σ(Kyyi) ·x2

ίση με τη δυστρεψία του πραγματικού συστήματος

Kθ,re=Kθ=Σ(Kxxi·yi2 + Kyyi·xi2-2Kxyi·xi·yi+Kzi),

δηλαδή πρέπει Kθ,eq= Kθ,re à Σ(Kxxi)·y2+Σ(Kyyi)·x2=Kθ à

                                              (8)

Η καμπύλη (8) είναι έλλειψη με κέντρο το CT, διεύθυνση αυτή των κυρίων αξόνων και ημιάξονες rx, ry.

Παράδειγμα Γ.6:

Υπολογισμός έλλειψης δυστρεψίας

rx=√(Kθ/Kyy)=√(3134·106N·m /161.2·106N/m)=4.41 m

ry=√(Kθ/Kxx)=√(3134·106 N·m /274.41·106N/m)=3.38 m

Συμπέρασμα:

Η στρεπτική συμπεριφορά ενός ορόφου μπορεί να περιγραφεί από την ελλειψοειδή γραμμή δυστρεψίας (CT, rx, ry) που παριστάνει την ισοδύναμη κατανομή της δυσκαμψίας του διαφράγματος.

Οι ακτίνες rx, ry, της έλλειψης ονομάζονται ακτίνες δυστρεψίας.

Υπάρχει απειρία λύσεων ιδεατών διπλών ζευγών συστημάτων, εκ των οποίων το πιο χαρακτηριστικό είναι αυτό με τις 4 ιδεατές κολόνες στα 4 άκρα της έλλειψης.

Γενικότερα δε υπάρχει και απειρία λύσεων με n-απλά αντιδιαμετρικά συστήματα, όπου η κάθε ιδεατή κολόνα έχει δυσκαμψίες ίσες με το 1/των συνολικών δυσκαμψιών του συστήματος.

 

Επαλληλία των τριών παραμορφώσεων

 

Έως εδώ όλοι οι υπολογισμοί εξαρτιόνταν από τη γεωμετρία του φορέα και δεν επηρεάζονταν από το μέγεθος της εξωτερικής φόρτισης, π.χ. το Κέντρο Ελαστικής Στροφής, οι στατικές εκκεντρότητες, ή οι ακτίνες δυστρεψίας, είναι ανεξάρτητες του μεγέθους της σεισμικής δύναμης.

Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τις παραμορφώσεις του φορέα και τις εντάσεις του λόγω της εξωτερικής σεισμικής φόρτισης H.

Η εκάστοτε σεισμική δύναμη H εξασκείται στο κέντρο μάζας CM του διαφράγματος. Η δύναμη αυτή μπορεί να αναλυθεί στις δύο δυνάμεις Hx και Hy παράλληλα στους δύο άξονες του κύριου συστήματος. Για να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε την προηγούμενη ανάλυση, μεταφέρουμε τις δυνάμεις Hx, Hy στο κέντρο ελαστικής στροφής CT μαζί με τη ροπή MCT βάσει της σχέσης:

 

                                                                                                        (9)

Παράδειγμα Γ.7-1: Αν η οριζόντια δύναμη κατά x είναι H=90.6 kN, ζητείται η επίλυση του φορέα.

Υπολογισμός ροπής MCT :

Οι στατικές εκκεντρότητες είναι eox =-0.626 και  eoy= yCM=-2.334m

Για δύναμη Η=HX=90.6 kN στο αρχικό σύστημα X0Y θα έχουμε στο κύριο σύστημα (a=22.44ο) την ισοδύναμη φόρτιση Hx=HX·cosa=90.6·0.924=83.72 kN και Hy=-HX·sina=-90.6·0.382=-34.64 kN και

ΜCT=-Hx·eoy+Hy·eox=-83.72kN·(-2.334m)+[-34.64kN·(-0.626m)]=195.4 kNm+21.7kNm=217.1 kNm

Με τα εξωτερικά μεγέθη Hx, Hy, MCT, υπολογίζουμε:

·         τις παραμορφώσεις δxo, δyo και θz του πόλου περιστροφής του διαφράγματος από τις σχέσεις:

 

              ,  ,                                                                          (10)

όπου  , ,  

Παράδειγμα Γ.7-2:

Έχουν ήδη υπολογιστεί Kxx=Σ(Kxxi)= 161.2·106N/m, Kyy=Σ(Kyyi)= 161.2·106 N/m και Κθ=3134·106 N·m οπότε

δxo=Hxxx =83.72·103N/(274.41·106N/m)=0.305 mm,

δyo=Hyyy =-34.46·103N/(161.2·106 N/m)=- 0.214 mm και

θz=MCT/Kθ=217.1kNm/(3134·103kNm)=0.692·10-4 

·         τις παραμορφώσεις δxi, δyi της κεφαλής κάθε κολόνας από τις σχέσεις:

 

,                                                 (11)

·         and the displacements δζi, δηi by transferring δxi, δyi to the local system of each column using the expressions:

,    όπου                        (12)

Παράδειγμα Γ.7-3:

C1: δx1= δxo- θz·y1=0.305mm-0.692·10-4·(-3.50·103mm)=(0.305+0.242)mm=0.547 mm

δy1= δyo+ θz·x1=-0.214mm+0.692·10-4·(-4.35·103mm)=(-0.214-0.301)mm=-0.515 mm

Και με μεταφορά στο τοπικό σύστημα που φ’1=0.0-22.44°=-22.44°.

δζ1= δx1·cosφ’1y1·sinφ’1=0.547·0.924-0.515·(-0.382)=0.505+0.197=0.702 mm

δη1=-δx1·sinφ’1y1·cosφ’1=-0.547·(-0.382)+(-0.515)·0.924=0.209-0.476=-0.267 mm

C2: δx2= δxo- θz·y2=0.305mm-0.692·10-4·(-5.79·103mm)=(0.305+0.400)mm=0.705 mm

δy2= δyo+ θz·x2=-0.214mm+0.692·10-4·1.19·103mm=(-0.214+0.082)mm=-0.132  mm

Και με μεταφορά στο τοπικό σύστημα που φ’2=0.0-22.44°=-22.4°.

δζ2= δx2·cosφ’2y2·sinφ’2=0.705·0.924+(-0.291)·(-0.132)=0.652+0.038=0.701 mm

δη2=-δx2·sinφ’2y2·cosφ’2=-0.705·(-0.382)+(-0.132)·0.924=0.269-0.122=0.147 mm

C3: δx3= δxo- θz·y3=0.305mm-0.692·10-4·1.12·103mm=(0.305-0.078)mm=0.227 mm

δy3= δyo+ θz·x3=-0.214mm+0.692·10-4·(-2.44·103mm)=(-0.214-0.169)mm=-0.383 mm

Και με μεταφορά στο τοπικό σύστημα που φ’3=30.0-22.44°=7.56°.

δζ3= δx3·cosφ’3y3·sinφ’3=0.227·0.991+(-0.383)·0.132=0.225-0.050=0.175 mm

δη3=-δx3·sinφ’3y3·cosφ’3=-0.227·0.132+(-0.383)·0.991=-0.030-0.380=-0.410 mm

C4: δx4= δxo- θz·y4=0.305mm-0.692·10-4·(-1.17·103mm)=(0.305+0.081)mm=0.386 mm

δy4= δyo+ θz·x4=-0.214mm+0.692·10-4·3.10·103mm=(-0.214+0.215)mm=0.001 mm

Και με μεταφορά στο τοπικό σύστημα που φ’4=45.0-22.44°=22.56°.

δζ4= δx4·cosφ’4y4·sinφ’4=0.386·0.923+0.001·0.384=0.355+0.000=0.355 mm

δη4=-δx4·sinφ’4y4·cosφ’4=-0.386·0.384+0.001·0.923=-0.148+0.001=-0.147 mm

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα όπου για σεισμό κατά X, η παραμόρφωση λόγω στροφής στη κολόνα C2 δίνει δx2,θ=0.400 mm που είναι μεγαλύτερη από τη μεταφορική παραμόρφωση δxo=0.305 mm και έτσι η συνολική παραμόρφωση γίνεται  δx2=0.305+0.400=0.705 mm

Εικόνα Γ.7: Κατανομή ροπών (Mji,1- Mji,2=Vji·h)

·         τις τέμνουσες και τις ροπές κάθε υποστυλώματος στο τοπικό του σύστημα βάσει των σχέσεων:

                                                 ,                                                   (13)

                ,                              (14)

            ,  

 

 

Παράδειγμα Γ.7-4:

Υπολογισμός τεμνουσών και ροπών :

Ο συντελεστής κατανομής των ροπών θα ληφθεί ίδιος και προς τις 2 διευθύνσεις aζi=aηi=0.50

C1: Vζ1ζ1·Kζ1=0.702mm·31.1·106 N/m =21.8 kN

Vη1η1·Kη1=-0.267mm·31.1·106 N/m =-8.3 kN

Mζ1,1 =Vζ1·h·0.50=21.8·3.0·0.50=32.7 kNm              Mζ1,2=- Mζ1,1=-32.7 kNm

Mη1,1=Vη1·h·0.50=-8.3·3.0·0.50=-12.5 kNm              Mηι,2=- Mη1,1=12.5 kNm

C2: Vζ2ζ2·Kζ2=0.701mm·31.1·106 N/m =21.8 kN

Vη2η2·Kη2=0.147mm·31.1·106 N/m =4.6 kN

Mζ2,1=Vζ2·h·0.50=21.8·3.0·0.50=32.7 kNm               Mζ2,2=- Mζ2,1=-32.7 kNm

Mη2,1=Vη2·h·0.50=4.6·3.0·0.50=6.9 kNm                  Mη2,2=- Mη2,1=-6.9 kNm

C3: Vζ3ζ3·Kζ3=0.175mm·186.6·106 N/m =32.7 kN

Vη3η3·Kη3=-0.410mm·26.2·106 N/m =-10.8 kN

Mζ3,1=Vζ3·h·0.50=32.7·3.0·0.50=49.1 kNm               Mζ3,2=- Mζ3,1=-49.1 kNm

Mη3,1=Vη3·h·0.50=-10.8·3.0·0.50=-16.2 kNm                        Mη3,2=- Mη3,1=16.2 kNm

C4: Vζ4ζ4·Kζ4=0.355mm·19.7·106 N/m =7.0 kN

Vη4η4·Kη2=-0.147mm·78.7·106 N/m =-11.6 kN

Mζ4=Vζ4·h·0.50=7.0·3.0·0.50=10.5 kNm                   Mζ4,2=- Mζ4,1=-10.5 kNm

Mη4,1=Vη4·h·0.50=-11.6·0·0.50=-17.4 kNm               Mη4,2=- Mη4,1=17.4 kNm

Μονώροφο χωρικό πλαίσιο με ορθογωνικές κολόνες σε τυχούσα διάταξη

Ο σκελετός και η προσομοίωσή του μονόροφου χωρικού πλαισίου

Στην παράγραφο αυτή επιλύεται σε οριζόντια σεισμική δύναμη H=90.6 kN, το μονώροφο χωρικό πλαίσιο της εικόνας με τέσσερις τρόπους: (i) με το χέρι θεωρώντας την κατακόρυφη δυσκαμψία των δοκών άπειρη, (ii) με το excel και την ίδια θεώρηση, (iii) με το excel και θεώρηση μέσου συντελεστή δυσκαμψίας των κολονών k=6, (iv) με τη δυσκαμψία των δοκών και κολονών που προκύπτει από την ελαστική επίλυση του φορέα.

Επίλυση

(i) Επίλυση με το χέρι, με θεώρηση αφίπακτων κολονών (k=12)

Η επίλυση είναι αυτή που δόθηκε ως παράδειγμα σε όλες τις προηγούμενες παραγράφους αυτού του παραρτήματος.

(ii) Επίλυση με το excel, με θεώρηση αμφίπακτων κολονών (k=12)

Χρησιμοποιείται το συνοδευτικό υπολογιστικό φύλλο <diaphragm_general.xls> με τη θεώρηση άκαμπτων ζυγωμάτων. Τα αποτελέσματα είναι ίδια με τις πράξεις στο χέρι.

Στο τέλος του φύλλου σχεδιάζεται και ο φορέας με την έλλειψη δυστρεψίας και με τις ισοδύναμες κολόνες.

(iii) Επίλυση με το excel και θεώρηση κολονών με k=6

Αν παρατηρήσουμε τα αποτελέσματα του excel, προκύπτει ότι, το κέντρο ελαστικής στροφής, οι ακτίνες δυστρεψίας του φορέα και τα εντατικά μεγέθη είναι ακριβώς ίδια με των προηγούμενων περιπτώσεων. Αυτό που αλλάζει μόνο είναι το μέγεθος των παραμορφώσεων, αλλά και πάλι οι σχετικές μεταξύ τους τιμές παραμένουν σταθερές ίσες με 12/6=2.00.

(iv) Επίλυση με θεώρηση κανονικών ελαστικών δυσκαμψιών δοκών και κολονών

Για να προσδιορίσουμε τη διαφραγματική λειτουργία του ορόφου ενός κτιρίου, με πραγματικές δυσκαμψίες και όχι με παραδοχές αμφίπακτης λειτουργίας των κολονών του, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε κατάλληλο λογισμικό. Η χρήση λογισμικού είναι αναγκαία, είτε το κτίριο είναι μονώροφο, είτε είναι πολυώροφο, είτε έχει ορθογωνικές κολόνες σε παράλληλη διάταξη, είτε όχι.

Στο παράρτημα Δ περιγράφεται η μέθοδος με την οποία προσδιορίζεται η διαφραγματική λειτουργία του κάθε ορόφου και το συγκεκριμένο παράδειγμα, επιλύεται ως παράδειγμα 1.