en-USel-GRes-ES
Menu

Παράρτημα Β

Εισαγωγή >
Ο σκελετός του κτιρίου
Η κατασκευή
Οπλισμός I
Οπλισμός II
Προμέτρηση και κοστολόγηση
Σχέδια εφαρμογής


Εισαγωγή >
Δυνάμεις σεισμού και ανέμου
Προσομοιώματα-Επιλύσεις
Προσομοίωση πλακών με πεπερασμένα
Ολόσωμες πλάκες
Σεισμική Συμπεριφορά Πλαισίων
Παράρτημα Α
Παράρτημα Β
Παράρτημα Γ
Παράρτημα Δ

Εισαγωγή >
Υλικά
Συνεχίζεται >

Δυσκαμψία ζυγώματος πλαισίου

Πλαίσιο της πράξης                                   Ισοδύναμο Σύστημα

 

Στα πολυώροφα επίπεδα πλαίσια, το μέγεθος  μέτρησης της λειτουργίας σε οριζόντιες σεισμικές δυνάμεις είναι η δυσκαμψία του κάθε ζυγώματος.

Ζύγωμα είναι το οριζόντιο τμήμα του πλαισίου που συνδέει τις κολόνες μεταξύ τους. Το ζύγωμα συνήθως είναι πλακοδοκός, αλλά μπορεί να είναι και ζώνη πλάκας.

Δυσκαμψία Ki, ζυγώματος i, επίπεδου πλαισίου είναι ο λόγος της οριζόντιας σεισμικής δύναμης H που εξασκείται επί του ζυγώματος, παράλληλα προς το επίπεδο του πλαισίου, προς την αντίστοιχη μετακίνηση δi του ζυγώματος, δηλαδή Ki=Hi.

Για να συγκρίνουμε μεταξύ τους τις δυσκαμψίες των ορόφων, είναι πολύ εξυπηρετικό να χρησιμοποιήσουμε έναν απλούστερο πλαισιακό φορέα, ο οποίος θα έχει την ίδια συμπεριφορά με το πραγματικό πλαίσιο, σε οριζόντιες σεισμικές δυνάμεις.

Ισοδύναμο επίπεδο πολυώροφο σύστημα είναι το ιδεατό πλαίσιο ίδιου αριθμού ορόφων, του οποίου οι κολόνες είναι αμφίπακτες, στο οποίο όταν ασκηθεί οριζόντια σεισμική δύναμη σε ένα ζύγωμα, η μετακίνηση είναι ίδια με το πραγματικό ζύγωμα.

 

Σχετική Δυσκαμψία κολόνας ζυγώματος

 

Πλαίσιο της πράξης
Αποτελέσματα της επίλυσης του πλαισίου,
μετακινήσεις στο ζύγωμα δ
i και τέμνουσες στις κολόνες
(Δυσκαμψία ζυγώματος
i: Ki=Hi)

 

 

 

Παράδειγμα μελέτης <B_b1-1>:
για Η=100
kN και i=2, δ2=2.589 mm à
K2=H2=100·103N/(2.589·10-3m)=38.6·106 N/m

Ισοδύναμο Σύστημα
Η επίλυση δίνει τις ίδιες μετακινήσεις στο ζύγωμα
i, άρα και την ίδια
δυσκαμψία του ζυγώματος
i

 

Παράδειγμα μελέτης
  <
B_b1-2>: για Η=100 kN, δ2=2.589 mm à K2=38.6·106 N/m

 

Ισοδύναμο πολυώροφο πλαίσιο - σχετική δυσκαμψία ζυγώματος
Παράδειγμα μελέτης < B_b1-1>

Εικόνα B.2-1:Επίλυση του ζυγώματος με οριζόντια δύναμη H

Παράδειγμα: για Η=100 kN και
 
i=2, δ2=2.589 mm

 

Εικόνα B.2-2:Επίλυση του ζυγώματος      i-με οριζόντια δύναμη H

Παράδειγμα: για Η=100 kN και
i-1=1, δ1=0.936mm

 

Η σχετική δυσκαμψία του ζυγώματος i είναι ΚZ,i=H/( δii-1).

Παράδειγμα: ΚΖ,2=100.00×103N/[(2.589-0.936)×10-3m=60.5 N/m

 

 

Το ισοδύναμο πλαίσιο μπορεί να αποτελείται από μία, δύο ή περισσότερες κατακόρυφες κολόνες και πρέπει να δίνει τις ίδιες μετακινήσεις με το πραγματικό πλαίσιο. Είναι πιο παραστατικό να χρησιμοποιείται δίστυλο πλαίσιο με ισοδύναμες αμφίπακτες κολόνες και να τοποθετούνται επί αυτού πιθανά διακοπτόμενα ζυγώματα.

Σχετική δυσκαμψία KRi, ζυγώματος i, επίπεδου πολυώροφου πλαισίου είναι ο λόγος της οριζόντιας σεισμικής δύναμης Η που εξασκείται επί του ζυγώματος του ορόφου, προς την αντίστοιχη μετακίνηση του ζυγώματος δi σε σχέση με την αντίστοιχη μετακίνηση δi-1 του υποκείμενου ζυγώματος i-1, όταν επί αυτού εξασκηθεί η ίδια οριζόντια δύναμη Η, δηλαδή KRi=H/(δii-1).

 

Αν βάλουμε όλη την παραπάνω λογική σε ένα πίνακα, θα έχουμε για το σύνολο των ζυγωμάτων τις  δυσκαμψίες Κi και τις σχετικές δυσκαμψίες ΚZi

Zύγωμα i

δo,i

Κi

δii-1

ΚZi

Ισοδύναμες
διατομές

 

Mm

×106 N/m

mm

×106 N/m

mm/mm

5

6.6789

14.97

2.810(*)

35.59

418/418

4

6.1173

16.35

2.248

44.48

443/443

3

3.869

25.85

1.280

78.13

429/429

2

2.589

38.62

1.653

60.50

401/401

1

0.936

106.84

0.936

106.84

464/464

 


Σχετική Δυσκαμψία κολόνας ζυγώματος

Ζύγωμα i

ΚZ

Vi,1

ΚZi,1

Vi,2

ΚZi,2

Vi,3

ΚZi,3

Vi,4

ΚZi,4

Σ(Vi)

 

×106 N/m

kN

×106 N/m

kN

×106 N/m

kN

×106 N/m

kN

×106 N/m

 

5

35.59

-

-

-

-

75.8

27.0

24.2

8.6

100.00

4

44.48

38.8

17.3

61.2

27.2

-

-

-

-

100.00

3

78.13

18.6

14.5

36.6

28.6

34.9

27,3

9.9

7.7

100.00

2

60.50

9.0

5.4

44.2

26.7

43.6

26.4

3.2

1.9

100.00

1

106.84

4.0

4.3

47.3

50.5

47.3

50.5

1.4

1.5

100.00

 

Οι τέμνουσες Vi,j που αναλαμβάνει η κολόνα j της στάθμης i και
οι αντίστοιχες σχετικές δυσκαμψίες
ΚZi,j

Σχετική δυσκαμψία κολόνας ζυγώματος επίπεδου πλαισίου είναι ο λόγος της τέμνουσας της κολόνας του ζυγώματος προς τη δύναμη H επί τη σχετική δυσκαμψία KRi του ζυγώματος.

Σημαντικό: Η εξέταση της λειτουργίας των πολυώροφων πλαισίων δεν έχει μόνο εκπαιδευτικό χαρακτήρα, αλλά αποτελεί και τη βάση αξιολόγησης των πολυώροφων χωρικών πλαισίων, τα οποία λειτουργούν προς τις δύο επίπεδες πλαισιακές κατευθύνσεις x και y. Βέβαια, στο χωρικό πλαίσιο υπάρχει και ο παράγοντας της στροφής, ο οποίος εξετάζεται στο παράρτημα Δ.

Επιρροή πλακών στις δυσκαμψίες με χρήση πεπερασμένων στοιχείων

 

Ως ενδεικτικό παράδειγμα επιλύεται ένα τετραώροφο πλαίσιο με υποστυλώματα ύψους 3.0 m σε κάθε όροφο, διατομής 400/400, δοκών ανοίγματος 6.0 m με διατομή 300/500 και πλάκες γεωμετρικού πλάτους 1.0 m εκατέρωθεν των παρειών δοκών, με πάχος 150 mm.

Η μελέτη που χρησιμοποιείται είναι η <B_b4>. στην οποία γίνονται δύο διαφορετικές επιλύσεις, των οποίων οι προκύπτουσες μετακινήσεις παρουσιάζονται παράλληλα στις δύο επόμενες σελίδες, ενώ στην τρίτη σελίδα τα αποτελέσματα και τα συμπεράσματα. Και στις δύο επιλύσεις οι συντελεστές δυσκαμψίας όλων των ράβδων λαμβάνονται ίσοι με 1.0, χρησιμοποιούνται στερεά σώματα, ενώ λαμβάνεται υπόψη και η επιρροή της διάτμησης. Κριτήριο σύγκρισης είναι η δυσκαμψία του ζυγώματος της 3ης στάθμης.

1η επίλυση: πλαισιακός φορέας με προσομοίωση ραβδωτών στοιχείων

 


Η παραμόρφωση του φορέα

1η επίλυση: επιλύεται επίπεδο πλαίσιο υπό οριζόντιο φορτίο H στην 3η στάθμη με προσομοίωση ραβδωτών στοιχείων, όπου η επιρροή των πλακών λαμβάνεται υπόψη με τη θεώρηση συνεργαζόμενου πλάτους των δοκών κατά EC2. Στην ανάλυση πλαισίων, συνήθως, προσομοιώνονται οι δοκοί και οι κολόνες με γραμμικά μέλη. Η επιρροή των πλακών λαμβάνεται υπόψη προσθέτοντας στην ορθογωνική δοκό ένα πέλμα πλάτους beff.

Αποτελέσματα 1ης επίλυσης: όπως προκύπτει από τις προηγούμενες σελίδες, για οριζόντια δύναμη H=100 kN, λαμβάνουμε μετακίνηση του ζυγώματος της 3ης στάθμης δ3,1=5.735 mm οπότε η δυσκαμψία του ζυγώματος προκύπτει K3,1=H3,1=100.0·103N/(5.735·10-3m)=17.4·106 N/m.

Με ανάλογες αναλύσεις, ασκώντας ξεχωριστά σε κάθε όροφο i τη δύναμη H=100 kN προκύπτουν οι παρακάτω ελαστικές μετακινήσεις δi,1 και οι δυσκαμψίες Ki,1.

4η στάθμη: H=100 kN, δ4,1=8.051 mm,            K4,1=12.4·106 N/m

3η στάθμη: H=100 kN, δ3,1=5.735 mm,          K3,1=17.4·106 N/m

2η στάθμη: H=100 kN δ2,1=3.500 mm,             K2,1=28.6·106 N/m

1η στάθμη: H=100 kN, δ1,1=1.358 mm,            K1,1=73.6·106 N/m

2η επίλυση: Πλαισιακός φορέας με προσομοίωση ραβδωτών και επιφανειακών πεπερασμένων στοιχείων

Η παραμόρφωση του φορέα

2η επίλυση: Πλαισιακός φορέας υπό οριζόντιο φορτίο H στην 3η στάθμη με προσομοίωση ραβδωτών και επιφανειακών πεπερασμένων στοιχείων.

Αποτελέσματα 2ης επίλυσης: όπως προκύπτει από την προηγούμενη σελίδα, για οριζόντια δύναμη H=100.0 kN, λαμβάνουμε μετακίνηση του ζυγώματος της 3ης στάθμης δ3,2=4.266 mm οπότε η δυσκαμψία του ζυγώματος προκύπτει K3,2=H3,2=100.0·103N/(4.266·10-3m)=23.4·106  N/m.

Με ανάλογες αναλύσεις, εξασκώντας ξεχωριστά σε κάθε όροφο i τη δύναμη H=100 kN προκύπτουν οι παρακάτω ελαστικές μετακινήσεις δi,1 και οι δυσκαμψίες Ki,1.

4η στάθμη: H=100 kN, δ4,2=6.073 mm,            K4,2=16.5·106 N/m

3η στάθμη: H=100 kN, δ3,2=4.266 mm,          K3,2=23.4·106  N/m

2η στάθμη: H=100 kN δ2,2=2.528 mm,             K2,2=39.6·106 N/m

1η στάθμη: H=100 kN, δ1,2=0.886 mm,            K1,2=112.9·106 N/m

Συμπέρασμα: Η δυσκαμψία του πλαισίου προκύπτει μεγαλύτερη όταν η ανάλυση γίνει με τη χρήση επιφανειακών πεπερασμένων στοιχείων.

Επιρροή τοιχίων στις δυσκαμψίες με χρήση πεπερασμένων στοιχείων

Επειδή η επιρροή των πλακών στη δυσκαμψία εξετάσθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, για να προκύψουν αποτελέσματα συγκρίσιμα μεταξύ τους, εξετάζεται στη συνέχεια ένα πλαίσιο με δοκούς χωρίς πλάκες.

Ως ενδεικτικό παράδειγμα επιλύεται ένα τετραώροφο πλαίσιο με ίδιες διατομές και ίδιο ύψος 3.0 m σε κάθε όροφο. Κάθε όροφος έχει δύο υποστυλώματα διατομής 400/400 και ένα τοιχίο διατομής 2000/300, ενώ οι δύο δοκοί έχουν άνοιγμα 6.0 m και διατομή 300/500.

Τα υποστυλώματα και οι δοκοί προσομοιώνονται με γραμμικά μέλη, ενώ τα τοιχία μπορούν να προσομοιωθούν ή με γραμμικά μέλη που έχουν στερεά σώματα στην κορυφή τους, ή με επιφανειακά πεπερασμένα στοιχεία. 

1η επίλυση: επίπεδο πλαίσιο, όπου τα τοιχία προσομοιώνονται ως γραμμικά μέλη με στερεά σώματα στην κορυφή τους


Η παραμόρφωση του φορέα

Αποτελέσματα 1ης επίλυσης: Για οριζόντια δύναμη H=100 kN, λαμβάνουμε μετακίνηση του ζυγώματος της 3ης στάθμης δ3,1=1.552 mm οπότε η δυσκαμψία του ζυγώματος προκύπτει K3,1=H3,1=100.0·103N/(1.552·10-3m)=64.4·106 N/m.

 

Με ανάλογες αναλύσεις, εξασκώντας ξεχωριστά σε κάθε όροφο i τη δύναμη H=100 kN προκύπτουν οι παρακάτω ελαστικές μετακινήσεις δi,1 και οι δυσκαμψίες Ki,1.

4η στάθμη: H=100 kN, δ4,1=3.033 mm,             K4,1=33.0·106 N/m

3η στάθμη: H=100 kN, δ3,1=1.552 mm,             K3,1=64.4·106 N/m

2η στάθμη: H=100 kN δ2,1=0.629 mm, K2,1=159.0·106 N/m

1η στάθμη: H=100 kN, δ1,1=0.146 mm,             K1,1=685.0·106 N/m

2η επίλυση: επίπεδο πλαίσιο, όπου τα τοιχία προσομοιώνονται με τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία
(Το μέγεθος των πεπερασμένων στοιχείων έχει ληφθεί 0.30 m γενικά και 0.15 m για την περίμετρο των τοιχίων.)


Η παραμόρφωση του φορέα

Αποτελέσματα 2ης επίλυσης: όπως προκύπτει από την προηγούμενη σελίδα, για οριζόντια δύναμη H=100.0 kN, λαμβάνουμε μετακίνηση του ζυγώματος της 3ης στάθμης δ3,2=1.399 mm οπότε η δυσκαμψία του ζυγώματος προκύπτει K3,1=H3,1=100.0·103N/(1.399·10-3m)=71.5·106 N/m.

Με ανάλογες αναλύσεις, εξασκώντας ξεχωριστά σε κάθε όροφο i τη δύναμη H=100 kN προκύπτουν οι παρακάτω ελαστικές μετακινήσεις δi,1 και οι δυσκαμψίες Ki,1.

 

4η στάθμη: H=100 kN, δ4,2=2.783 mm,            K4,2=35.9·106 N/m

3η στάθμη: H=100 kN, δ3,2=1.399 mm,            K3,2=71.5·106  N/m

2η στάθμη: H=100 kN δ2,2=0.543 mm,             K2,2=184.0·106 N/m

1η στάθμη: H=100 kN, δ1,2=0.117 mm,            K1,2=855.0·106 N/m

 

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, στη 3η στάθμη, η δυσκαμψία με χρήση πεπερασμένων επιφανειακών στοιχείων προκύπτει μεγαλύτερη κατά (71.5-64.4)/64.4=11% και στην 4η, 2η και 1η στάθμη, αντίστοιχα: 9%, 16% και 25%

 

Συμπέρασμα: Η δυσκαμψία του πλαισίου δε διαφέρει πολύ όταν η ανάλυση στα τοιχία γίνει με τη χρήση επιφανειακών πεπερασμένων στοιχείων.