en-USel-GRes-ES
Menu

Χωρικά πλαίσια

Εισαγωγή >
Ο σκελετός του κτιρίου
Η κατασκευή
Οπλισμός I
Οπλισμός II
Προμέτρηση και κοστολόγηση
Σχέδια εφαρμογής


Δυνάμεις σεισμού και ανέμου
Προσομοιώματα-Επιλύσεις
Προσομοίωση πλακών με πεπερασμένα
Ολόσωμες πλάκες
Σεισμική Συμπεριφορά Πλαισίων
Παράρτημα Α
Παράρτημα Β
Παράρτημα Γ
Παράρτημα Δ
Εισαγωγή

Δυνάμεις σεισμού και ανέμου
Προσομοιώματα-Επιλύσεις
Προσομοίωση πλακών με πεπερασμένα
Ολόσωμες πλάκες
Σεισμική Συμπεριφορά Πλαισίων
Παράρτημα Α
Παράρτημα Β
Παράρτημα Γ
Παράρτημα Δ
Εισαγωγή

Διαφραγματική λειτουργία

Απλό παράδειγμα ορόφου με 4 υποστυλώματα που καταλήγουν σε άκαμπτη πλάκα-διάφραγμα

Οι πλάκες δημιουργούν ένα ισχυρό οριζόντιο στοιχείο στον σκελετό ενός ορόφου, το λεγόμενο διάφραγμα. Το διάφραγμα είναι πρακτικά άκαμπτο και απαραμόρφωτο, με αποτέλεσμα να υποχρεώνει τόσο τις δοκούς όσο και τις κεφαλές των υποστυλωμάτων να κινούνται με βάση συγκεκριμένο κανόνα.

Φορτιστικό Προσομοίωμα

Στην περίπτωση του σεισμού, στην οποία οι κύριες εντάσεις προκύπτουν από οριζόντιες σει-σμικές δυνάμεις, η διαφραγματική λειτουργία επηρεάζει άμεσα τη λειτουργία ολόκληρου του σκελετού.
Στη συνέχεια, αναπτύσσεται η διαφραγματική λειτουργία, η οποία αφορά κατασκευές κάθε τύπου και μεγέθους. Ως παράδειγμα χρησιμοποιείται η απλή τετράστυλη κατασκευή που απει-κονίζεται στην προηγούμενη σελίδα.

Κέντρο μάζας και ακτίνα αδράνειας

Το κέντρο μάζας CM και
ο ισοδύναμος δακτύλιος αδράνειας της μάζας με ακτίνα
ls

 

Η αδρανειακή συμπεριφορά της μάζας Σ(miενός διαφράγματος περιγράφεται από την αδρανειακά ισοδύναμη κατανομή της μάζας σε ένα δακτύλιο με συνολική μάζα Σ(mi), ο οποίος έχει ως κέντρο το Κέντρο Μάζας Cκαι ως ακτίνα την Ακτίνα Αδράνειας ls.

Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας CM ενός διαφράγματος με πολλές μάζες σημειακές είτε γραμμικά κατανεμημένες είτε επιφανειακές κατανεμημένες γραμμικά, προκύπτουν από τις σχέσεις:

, (1)

Η ακτίνα αδράνειας ls του διαφράγματος ως προς το κέντρο μάζας CM ισούται με:

(2)

όπου Χκαι Υείναι οι συντεταγμένες του κέντρου κάθε μάζας του διαφράγματος, ενώ Ipi είναι η πολική ροπή αδράνειας κάθε μάζας ως προς το κέντρο μάζαςCM.

 

 

Παράδειγμα υπολογισμού κέντρου μάζας και ακτίνας αδράνειας

Κέντρο Μάζας:

Λόγω συμμετρικής κατανομής των μαζών, λαμβάνεται  XCM=3.0 m και YCM=2.5 m.

Ακτίνα αδράνειας: [Λαμβάνεται g=10 m/sec2, οπότε δύναμη F=1 kN αντιστοιχεί σε μάζα m=0.1 t.]

Πλάκα: m1=6.0m·5.0m·0.71t/m2=21.3 t

b1=6.0 m, l1=5.0 m, L1=0.0 m à Ip1=21.3t·(6.02+5.02)m2/12=108.3 t·m2

Δοκός μεταξύ C1-C2: m2=6m·1.0t/m=6.0 t, l2=6.0 m, L2=2.5 m à Ip2=6.0·(62/12+2.52)=55.5 t·m2

Δοκός μεταξύ C3-C4: ομοίως m3=6.0 t, Ip2=55.5 t·m2

Δοκός μεταξύ C1-C3: m4=5.0m·1.0t/m=5.0 t, l4=5.0 m, L4=3.0 m à Ip4=5.0·(5.02/12+3.02)=55.4 t·m2

Δοκός μεταξύ C2-C4: ομοίως m5=5.0 t, Ip5=55.4 t·m2

Υποστυλώματα: m6=0.1·(4.00+4.00+6.0+4.5)=1.85 t, L6=√ (3.02+2.52)=3.905 m à  Ip6=1.85·3.9052=28.2 t·m2.

Τελικά Σ(mi)=45.3 t και Σ(Ipi)=358.3 t·m2 (2)    ls=√[(Σ(I)/Σ(mi)]=√(358.3/45.3)=2.81 m

 

 

Κέντρο ελαστικής στροφής και ελαστικές μετακινήσεις διαφράγματος
Περιγραφή του θέματος

Απλό παράδειγμα ορόφου με 4 υποστυλώματα, τα οποία καταλήγουν σε άκαμπτη πλάκα-διάφραγμα.

Στη συγκεκριμένη παράγραφο εξετάζεται η περίπτωση ορθογωνικών κολονών σε παράλληλη διάταξη. Το Παράρτημα Γ αναλύει τη γενική περίπτωση

Παράλληλη μετατόπιση του διαφράγματος προς τις δύο διευθύνσεις και
στροφή, λόγω της δύναμης Η που ασκείται στο κέντρο μάζας CM

Χ0Υ αρχικό σύστημα συντεταγμένων, xCTy κύριο σύστημα συντεταγμένων

Όλα τα σημεία, άρα και οι κεφαλές των κολονών επί της πλάκας κινούνται με τον ίδιο κανόνα κατά την οριζόντια ώθηση H ενός ορόφου, λόγω της ύπαρξης της πλάκας, η οποία στο επίπεδο της είναι πρακτικά άκαμπτη.

Ο κανόνας αυτός της κίνησης επιτάσσει το διάφραγμα να έχει μία παράλληλη (μεταφορική) μετατόπιση κατά δxo, δyo και μία στροφή θz πέριξ του πόλου περιστροφής CT(xCT, yCT) στο σύστημα xCTy, το οποίο σύστημα είναι παράλληλο προς το αρχικό σύστημα X0Y και έχει ως αρχή των αξόνων το σημείο CT.

Η διαφραγματική λειτουργία εξετάζεται ως επαλληλία τριών καταστάσεων:

(α) παράλληλη μετατόπιση του διαφράγματος κατά X λόγω οριζόντιας συνιστώσας δύναμης HX,

(β) παράλληλη μετατόπιση του διαφράγματος κατά Y λόγω οριζόντιας συνιστώσας δύναμης HY,

(γ) στροφή του διαφράγματος λόγω ροπής MCT  που ασκείται στον πόλο περιστροφής CT.

 

 

Μετατόπιση του πόλου περιστροφής CT κατά τη διεύθυνση x κατά δxο

Στην περίπτωση κατά την οποία ασκείται οριζόντια δύναμη Hx επί του CT κατά x, ισχύουν οι 2 ακόλουθες εξισώσεις ισορροπίας:

  • • Το άθροισμα των δυνάμεων κατά τη διεύθυνση x ισούται με Hx, δηλαδή Hx=Σ(Vxoi) (i).
  • • Το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων Vxoi ως προς το σημείο CT ισούται με μηδέν, δηλαδή Σ(Vxoi·yi)=0 (ii).

Κάθε κολόνα i αναλαμβάνει τέμνουσα δύναμη Vxoixo· Kxi.

Με βάση τη σχέση Σ(Vxoi)=Σ(δxo·Kxi )=δxo·Σ(Kxi), η (i) γίνεται Hx xo·Σ(Kxi)

Hx=Kx·δxo όπου Kx=Σ(Kxi).

H (ii) δίνει Σ(Vxoi·[ Yi-YCT])=0 Σ(Vxoi·Yi ) -Σ(Vxoi·YCT)=0 YCT·Σ( Vxoi)= Σ(Vxoi·YCT)

YCT=Σ(δxo·Kxi·Yi)/Σ(δxo·Kxi) → YCT=Σ(Kxi·Yi)/Σ(Kxi)

 

Μετατόπιση του πόλου περιστροφής CT κατά τη διεύθυνση y κατά δyο

Οι αντίστοιχοι τύποι για τη διεύθυνση y προκύπτουν με όμοιο τρόπο.

Hy=Ky·δyo όπου Ky=Σ(Kyi) και XCT=Σ(Kyi·Xi)/Σ(Kyi)

Συνοψίζοντας, οι σχέσεις που δίνουν το κέντρο ελαστικής στροφής και τις μεταφορικές δυσκαμψίες είναι οι παρακάτω:

Κέντρο Ελαστικής Στροφής και Μεταφορικές Δυσκαμψίες:

,  όπου                                                        (4’)


,  όπου                                                        (5’)

 

 

Στροφή θz του διαφράγματος περί τον πόλο περιστροφής CT

 

Εξετάζουμε την παραμόρφωση που προκαλεί η εξωτερική ροπή M, η οποία ασκείται στο κέντρο ελαστικής στροφήςCT. Προκειμένου να εξετάσουμε την κίνηση αυτή, μεταφερόμαστε 

(απλή παράλληλη μετάθεση) από το αρχικό σύστημα X0στο κύριο σύστημα xCTy. Η μεταφορά του κέντρου μάζας στο κύριο σύστημα πραγματοποιείται με τις στατικές εκκεντρότητες [1] eoxeoy τουCως προς το Cσύμφωνα με τις σχέσεις:

Κύριο σύστημα συντεταγμένων

, , ,                                                              (6’)

Η παραμόρφωση του διαφράγματος είναι ουσιαστικά μία στροφή θz περί το CT, η οποία προκαλεί μετατόπιση δi στην κεφαλή κάθε υποστυλώματος i με συντεταγμένες xi,yi ως προς το σύστημα συντεταγμένων με αρχή το CT. Αν η απόσταση του σημείου i από το CT ισούται με ri, οι δύο συνιστώσες της (απειροστής) παραμόρφωσης δi ισούνται με δxi=-θz·yi και δyiz·xi.

Οι μετατοπίσεις δxi, δyi δημιουργούν σε κάθε υποστύλωμα τέμνουσες Vxi και Vyi, όπου

Vxi=Kxi·δxi=Kxi·(-θz·yi) Vxi=-θz·Kxi·yi και Vyi=Kyi·δyi=Kyi·z·xi) Vyiz·kyi·xi

Η συνισταμένη των ροπών όλων των τεμνουσών δυνάμεων Vxi, Vyi ως προς το κέντρο ελαστικής στροφής ισούται με την εξωτερική ροπή MCT, δηλαδή

MCT=Σ(-Vxi·yi+Vyi·xi+Kzi) MCT= θz·Σ(Kxi·yi2+Kyi·xi2+Kzi)

Δυστρεψία Kzi υποστυλώματος i

Οι κολόνες ανθίστανται στη στροφή του διαφράγματος με την καμπτική τους δυσκαμψία κατά τους όρους Kxi·yi2 , Kyi·xi2 (σε N·m), αλλά και με την ίδια τη δυστρεψία τους Kzi σε μονάδες ροπής π.χ. N·m.

Η δυστρεψία ενός υποστυλώματος ισούται με Kz=0.5E·Id/h, όπου 0.5Ε είναι το μέτρο διάτμησης G του υλικού, το οποίο συνήθως λαμβάνεται ίσο με το 0.5 του μέτρου ελαστικότητας του υλικού της κολόνας, h είναι το ύψος της κολόνας και Id είναι η στρεπτική ροπή αδράνειας της διατομής. Το Id λαμβάνεται από τον ακόλουθο πίνακα.

Δυστρεψία του διαφραγματικού ορόφου

  όπου                                                            (7’)

Η ποσότητα Κθ ονομάζεται δυστρεψία (στροφική δυσκαμψία) του διαφράγματος και έχει μονάδες N·m, κατ’ αναλογία με τις ποσότητες Kx=Σ(Kxi), Ky=Σ(Kyi), οι οποίες ονομάζονται μεταφορικές δυσκαμψίες του διαφράγματος κατά τη διεύθυνση x και y αντίστοιχα και έχουν μονάδες N/m.

Ορισμοί:

Μεταφορική δυσκαμψία Κj διαφράγματος είναι η δύναμη κατά τη διεύθυνση j που απαιτείται για να προκαλέσει σχετική παράλληλη μετατόπιση του διαφράγματος κατά μία μονάδα προς αυτή τη διεύθυνση.

Δυστρεψία Kθ διαφράγματος είναι η ροπή που απαιτείται για να προκαλέσει σχετική στροφή του διαφράγματος κατά μία μονάδα.

Παρατήρηση

Η (ίδια) δυστρεψία των κολονών Kείναι πολύ μικρή και συνήθως παραλείπεται.



    Οι εκκεντρότητες eox, eoy ονομάζονται στατικές, επειδή εξαρτώνται μόνο από τη γεωμετρία του φορέα και καθόλου από την εξωτερική φόρτιση. Όπως θα δούμε στο κεφάλαιο 6, εκτός από τις στατικές εκκεντρότητες, υπάρχουν και οι τυχηματικές εκκεντρότητες.

 

 

 

Στρεπτική ροπή αδράνειας διατομής

Μορφή διατομής

Id


b η μικρότερη πλευρά

 όπου το n λαμβάνεται από τον πιο κάτω τύπo


 

Έλλειψη και Ακτίνες Δυστρεψίας, Ισοδύναμο Σύστημα

Ζητείται: ένα ιδεατό απλό Ισοδύναμο στατικό Σύστημα, το οποίο θα εμφανίζει την ίδια σεισμική συμπεριφορά με το πραγματικό στατικό σύστημα.

Απάντηση: Τοποθετούμε 4 ιδεατές κολόνες E1, E2 και E3, E4 συμμετρικά ως προς το κέντρο CT και ως προς τους άξονες x και y, δηλαδή και οι 4 ιδεατές κολόνες έχουν την ίδια απόλυτη τιμή της συντεταγμένης x και της συντεταγμένης y. Οι ιδεατές κολόνες E1, E2, E3, E4  έχουν η καθεμία δυσκαμψία Kx=1/4·Σ(Kxi) και Ky=1/4·Σ(Kyi).

Το σύστημα αυτό ικανοποιεί τις 2 συνθήκες του πραγματικού συστήματος, οι οποίες αφορούν τις μετακινήσεις ολίσθησης του διαφράγματος του συνόλου των κολονών.

Δυσκαμψία κατά x: 4·1/4·Σ(Kxi)=Σ(Kxi) και δυσκαμψία κατά y: 4·(1/4)·Σ(Kyi)=Σ(Kyi)

Για να ικανοποιείται η 3η συνθήκη, το ιδεατό σύστημα θα πρέπει να έχει δυστρεψία

Kθ,eq=[4·(1/4)·Σ(Kyi)·y2+4·(1/4)·Σ(Kxi)·x2]=Σ(Kxi)·y2+Σ(Kyi)·x2

ίση με τη δυστρεψία του πραγματικού συστήματος

Kθ,reθ=Σ(Kxi·yi2+Kyi·xi2+Kzi).

Δηλαδή, πρέπει: Kθ,eq=Kθ,reΣ(Kyi)·x2+Σ(Kxi)·y2=Kθ

Ακτίνες δυστρεψίας του διαφράγματος:

 όπου     και                                                         (8’)

Η καμπύλη (8’) είναι έλλειψη με κέντρο το CT, διεύθυνση αυτή των κυρίων αξόνων (εν προκειμένω τη διεύθυνση του αρχικού συστήματος) και ημιάξονες rx, ry, (ακτίνες δυστρεψίας του διαφράγματος).

Συμπέρασμα:

Η στρεπτική συμπεριφορά  ορόφου περιγράφεται από την ελλειψοειδή γραμμή δυστρεψίας (CT, rx, ry), η οποία παριστάνει την ισοδύναμη κατανομή της δυσκαμψίας του διαφράγματος.

Οι ακτίνες rx, ry, της έλλειψης ονομάζονται ακτίνες δυστρεψίας.

Υπάρχει απειρία λύσεων ιδεατών διπλών ζευγών συστημάτων, εκ των οποίων το πιο χαρακτηριστικό είναι εκείνο με τις 4 ιδεατές κολόνες στα 4 άκρα της έλλειψης.

Γενικά, υπάρχει απειρία λύσεων με n-απλά αντιδιαμετρικά συστήματα, όπου η κάθε ιδεατή κολόνα έχει δυσκαμψίες ίσες με το 1/n των συνολικών δυσκαμψιών του συστήματος.

 

 

Αξιολόγηση στρεπτικής συμπεριφοράς κτιρίου

Δακτύλιος αδράνειας της μάζας (CM, ls) και έλλειψη δυστρεψίας (CT, rx, ry)

Η σχέση μεταξύ του δακτύλιου αδράνειας της μάζας (CM,ls) και της έλλειψης δυστρεψίας (CT, rx, ry) καθορίζει τον βαθμό δυστρεψίας του διαφραγματικού ορόφου. Η ιδανική θέση των δύο καμπυλών είναι η έλλειψη δυσκαμψίας να περιβάλλει τον δακτύλιο αδράνειας.

Αν έστω και σε ένα μόνο διαφραγματικό όροφο κτιρίου προκύψει rx<ls ή ry<ls, τότε το σύστημα θεωρείται στρεπτικά εύκαμπτο [EC8 §5.2.2.1]. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα ισχύει ότι rx>ls και ry>ls.

Ένα κτίριο είναι κανονικό σε κάτοψη, όταν σε κάθε όροφο οι 2 στατικές εκκεντρότητες eox eoy ικανοποιούν τη συνθήκη eox≤0.30reoy≤0.30r[EC8 §4.2.3.2]. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα ισχύει ότι eox=0.94 m ≤ 0.30rx (=0.30·3.91=1.173 m), ενώ δεν ισχύει ότι eox=1.34 m ≤ 0.30rx (=0.30·3.08=0.924 m), άρα το κτίριο, στο οποίο ανήκει ο συγκεκριμένος διαφραγματικός όροφος, δεν είναι κανονικό σε κάτοψη.

 

Μονώροφο χωρικό πλαίσιο με ορθογωνικές κολόνες σε παράλληλη διάταξη

Ο σκελετός και η προσομοίωση του μονώροφου χωρικού πλαισίου

Το μονώροφο χωρικό πλαίσιο της εικόνας επιλύεται σε οριζόντια σεισμική δύναμη H=90.6 kN με τέσσερις τρόπους: (i) με το χέρι θεωρώντας άπειρη την κατακόρυφη δυσκαμψία των δοκών, (ii) με το excel και την ίδια θεώρηση, (iii) με το excel και θεώρηση μέσου συντελεστή δυσκαμψίας των κολονών ίσο με k=6 , (iv) με τη δυσκαμψία των δοκών και κολονών να προκύπτει από την ελαστική επίλυση του φορέα.

 

 

Επίλυση με το excel και με θεώρηση αμφίπακτων κολονών (k=12)

Η επίλυση με το χέρι δόθηκε ως παράδειγμα σε προηγούμενες παραγράφους.
Τα αποτελέσματα είναι ίδια με τις πράξεις στο χέρι.
Ο φορέας σχεδιάζεται στο τέλος του φύλλου με την έλλειψη δυστρεψίας και με τις ισοδύναμες κολόνες.

Επίλυση με το excel και με θεώρηση κολονών με k=6

Από τα αποτελέσματα του excel προκύπτει ότι, το κέντρο ελαστικής στροφής, οι ακτίνες δυ-στρεψίας του φορέα και τα εντατικά μεγέθη είναι ακριβώς τα ίδια με τα αντίστοιχα μεγέθη των προηγούμενων περιπτώσεων. Το μόνο που αλλάζει είναι το μέγεθος των παραμορφώσεων, αλλά και πάλι οι σχετικές μεταξύ τους τιμές διατηρούνται σταθερές και ίσες με 12/6=2.00.

Επίλυση με θεώρηση κανονικών ελαστικών δυσκαμψιών δοκών και κολονών

Η επίλυση μπορεί να γίνει μόνο με τη χρήση λογισμικού. Πρόκειται για τη μελέτη <B_545>. Η θεωρία προσδιορισμού της διαφραγματικής λειτουργίας από τις αναλύσεις αναφέρεται αναλυτικά στο Παράρτημα Δ.
Ο δακτύλιος αδράνειας είναι ίδιος με τις 2 προηγούμενες περιπτώσεις, καθώς εξαρτάται μόνο από τα φορτία, ενώ όλα τα υπόλοιπα μεγέθη προκύπτουν διαφορετικά, όπως αναμενόταν. Το κέντρο ελαστικής στροφής CT έχει συντεταγμένες (3.646, 3.314), ενώ οι ακτίνες δυστρεψίας ισούνται με rx=3.920 m και ry=3.572 m (έναντι 3.910 και 3.080 της θεώρησης αμφίπακτων κολονών). Οι ισοδύναμες κολόνες έχουν διατομή 415/378 (έναντι 524/406).

Υπολογισμός διαφραγματικής λειτουργίας
1ης (και μοναδικής) στάθμης

Υπολογισμός διαφραγματικής λειτουργίας
1ης
(και μοναδικής) στάθμης


Εικόνα 5.4.5.4-2


Εικόνα 5.4.5.4-3


Εικόνα 5.4.5.4-4


1η Φόρτιση:

HX=90.6 kN

εκκεντρότητα cY=1.0 m

MCM,X=90.6 kNm

2η Φόρτιση:

HX=90.6 kN

δέσμευση στροφής
διαφράγματος

(1η Φόρτιση) μείον (2η Φόρτιση):

HX=0

MCT,X=90.6·yCM+90.6·cY

Εικόνα 5.4.5.4-5


Εικόνα 5.4.5.4-6


Εικόνα 5.4.5.4-7

Οι μετακινήσεις κάθε σημείου i δX,i , δY,i

και η ενιαία γωνία στροφής του διαφράγματος

θXZ=9.681·10-5

Το διάφραγμα δε στρέφεται και κινείται μόνο παράλληλαμε τους άξονες X,Y.

Κάθε σημείο του διαφράγματος (άρα και το CT) έχει τις ίδιες κύριες μετακινήσεις

δXXo=0.684 mm, δXYo=0.

Το διάφραγμα εμφανίζει μόνο στροφή θXZ ως προς το CT.

Οι μετακινήσεις λόγω στροφής κάθε σημείου i ισούνται με:

δXt,i=δX,i-δXXo, δYt,i=δY,i-δXYo .

Το CT προκύπτει από τις σχέσεις:
XCT=X1Yt,1XZ=3.646 m
YCT =Y1Xt,1XZ=3.316 m





 


3η Φόρτιση:


HY=90.6 kN

δέσμευση στροφής διαφράγματος


Αποτελέσματα ανάλυσης:

Το διάφραγμα δε στρέφεται, αλλά κινείται μόνο παράλληλα προς τους άξονες X,Y.

Κάθε σημείο του διαφράγματος (επομένως και το CT) έχει τις ίδιες κύριες μετακινήσεις:

δYXo=0, δYYo=0.824 mm.

Με την 3η επίλυση ολοκληρώνονται οι αναγκαίες επιλύσεις για τον προσδιορισμό όλων των στοιχείων του διαφράγματος.

 

Προσδιορισμός του κυρίου συστήματος, των ακτίνων
δυστρεψίας και του ισοδύναμου συστήματος
(βλέπε §Γ.6):

tan(2a)=2δXYo/(δXXo-δYYo)=0.0 2a=0° a=0°

δxxo=δXXo=0.684 mm,

δyyo=δYYo=0.824 mm

Kxx=Hx/δxxo=90.6·103m/0.684·10-3m=132.5·106 N/m

Kyy=Hy/δyyo=90.6·103m/0.824·10-3m=110.0·106 N/m

MCT,X=90.6·yCM+90.6·cY=90.6·(3.316-2.500)+90.6·1.0=
=164.5 kNm

Kθ=MCT,X/θXZ=164.5/9.681·10-5=17.0·105kNm

rx=√Kθ/Kyy=√17.0·108N/m/110.0·106N/m=3.931m

ry=√Kθ/Kxx=√17.0·108N/m/132.5·106N/m=3.582 m